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考点19利用导数研究恒(能)成立问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．

【核心题型】

题型一分离参数求参数范围

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

【例题1】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【变式2】（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是.

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．

题型二等价转化求参数范围

根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．

【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（????）

A．2 B． C． D．

【变式1】（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（2024·吉林延边·一模）若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最小值为．

【变式3】（2023·海南海口·一模）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值.

题型三双变量的恒(能)成立问题

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有

(1)?x1，x2∈D，f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)max.

(2)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)min.

(3)?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)g(x2)?f(x)maxg(x)max.

【例题3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，函数．

(1)若直线与函数交于点A，直线与函数交于点B，且函数在点A处的切线与函数在点B处的切线相互平行，求a的取值范围；

(2)函数在其定义域内有两个不同的极值点，，且，存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．

【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)证明：．

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【变式2】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

(2)设的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.

【变式3】（2024·辽宁·一模）已知函数，（其中a，b为实数，且）

(1)当时，恒成立，求b；

(2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：）

【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（????）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，对任意，，都有恒成立，则下列结论成立的是（????）

A．当为偶数时，在上为增函数

B．当为偶数时，存在使得

C．当为奇数时，在上为增函数

D．当为奇数时，存在使得

3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2023·广东广州·一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（????）

A．若关于的方程在上无解，则

B．存在关于直线对称

C．若存在关于轴对称，则

D．若存在满足，则

5．（2023·山东泰安·模拟预测）已知函数，，则下列选项中正确的有（?????）

A．当时，函数和在处的切线互相垂直

B．若函数在内存在单调递减区间，则

C．函数在内仅有一个零点

D．若存在，使得成立，则

三、填空题

6．（2023·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是.

7．（2023·辽宁锦州·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是．

8．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的