2026人教A版高考数学一轮复习专练： 利用导数研究函数的零点.pdfVIP

第三课时利用导数研究函数的零点

题型一数形结合法研究函数零点

例1(2024・南昌模拟节)已知函数/(x)=(x—a)2+加5GR),若。=0时，函

数y=Ax)有3个零点，求6的取值范围.

解函数y=於)有3个零点，

即关于x的方程五X)=0有3个根，

也即关于x的方程。=—5有3个根.

22

令g(x)=—£,则直线y=b与g(x)=—2的图象有3个交点.

x(%—2)

g(x)=/，

由g(x)0解得0x2；

由g(x)0解得x0或x2,

所以g(x)在(一8,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

4

g(0)=0,g(2)=--2,

当x0时，g(x)0;

当％-*+8时,gQ)—0；

当X——8时，g(x)一—8,

作出g(x)的大致图象如图所示，作出直线丁=。

」4

由图可知，若直线y=Z?与g(%)的图象有3个交点，则一二60,

即》的取值范围为(V，0).

感悟提升含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可

将参数分离出来后，用X表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求

参数的范围.

训练1设函数4x)=lnx+与，m£R,讨论函数g(x)=/(x)—W零点的个数.

JiD

解由题意知

g(x)=/(x)-|=|-^-|(x0),

令g(x)=O,得m=一¥+%(%0).

设(p(x)=一$3+x(x0),

2

则“(x)=~x+1=-(%-l)(x+1).

当x©(0,1)时,(p(x)0,研x)在(0,1)上单调递增；

当x©(l,+8)时,(p(x)0,0(x)在(1,+8)上单调递减.

.*.x=l是e()的唯一极值点，且是极大值点，

..x=l也是夕()的最大值点，

2

.,.夕()的最大值为?⑴=1.

结合y=0(x)的图象(如图)可知，

2

①当机时，函数g(x)无零点；

2

②当加=］时，函数g(x)有且只有一个零点；

2

③当0c机时，函数g(x)有两个零点；

④当机W0时，函数g(x)有且只有一个零点.

2

综上所述，当机时，函数g(x)无零点；

2

当机=可或mW0时，函数g(x)有且只有一个零点；

2

当0机)时，函数g(x)有两个零点.

题型二利用函数性质研究函数零点

例2已知函数_/(x)=(2a+l)龙2—2x21n%—4,e是自然对数的底数，Vx0,ex+

1.

(1)求人劝的单调区间；

(2)记p：危)有两个零点；q：aln2.求证：是q的充要条件.

要求：先证充分性，再证必要性.

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(1)解V»=(2a+l)x-2xlnx-4,

的定义域为(0,+°°),f(x)=4x(a—lnx).

：当0xe。时，/(x)0,

二於)在(0,e。)上单调递增;

当xe。时，/(x)0,

.,.危)在(e,+8)上单调递减.

.••Hx)的单调递增区间为(0,e。)，单调递减区间为(e。，+-