函数展开成幂级数.pptxVIP

泰勒级数函数展开成幂级数函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数,则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.11.4函数展开成幂级数

一、泰勒级数复习根据泰勒中值定理,如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数?则在该邻域内等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数,这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.

一、泰勒级数泰勒级数如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数称为函数f(x)的泰勒级数.麦克劳林级数在泰勒级数中取x0?0,得此级数称为f(x)的麦克劳林级数.

一、泰勒级数显然,当x?x0时,f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).需回答的问题是:除了x?x0外,f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛,它是否一定收敛于f(x)?泰勒级数麦克劳林级数..

一、泰勒级数设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n?0时的极限为零,即定理泰勒级数麦克劳林级数..

展开式的唯一性如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与f(x)的麦克劳林级数一致.这是因为,如果f(x)在点x0?0的某邻域(?R,R)内能展开成x的幂级数,即f(x)?a0?a1x?a2x2????+anxn????,???,a0=f(0),a1=f?(0),???.提示:f??(x)?2!a2?3?2a3x?4?3a4x2?5?4a5x3????,f??(0)?2!a2.f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)???2an?1x????,f(n)(0)?n!an.那么有f?(x)?a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4????,f?(0)?a1.

如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.因此,如果f(x)在点x0?0处具有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.但是,如果f(x)的麦克劳林级数在点x0?0的某邻域内收敛,它却不一定收敛于f(x).如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与f(x)的麦克劳林级数一致.应注意的问题:展开式的唯一性

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数的步骤第一步求出f(x)的各阶导数:f?(x),f??(x),???,f(n)(x),???;第二步求函数及其各阶导数在x?0处的值:f(0),f?(0),f??(0),???,f(n)(0),???;第三步写出幂级数第四步考察在区间(?R,R)内时是否Rn(x)?0(n??).如果Rn(x)?0(n??),则f(x)在(?R,R)内有展开式并求出收敛半径R;

于是得级数例1将函数f(x)?ex展开成x的幂级数.解显然f(n)(x)?ex(n?1,2,???),f(n)(0)?1(n?1,2,???).它的收敛半径R???.对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间),有

例2将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数.解所以f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,?1,???(n?0,1,2,3,???),于是得级数对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间),有它的收敛半径为R???.因此得展开式

例3将函数f(x)?(1?x)m(m为任意常数)展开成x的幂级数.所以f(0)=1,f?(0)=m,f??(0)=m(m-1),???,f(n)(0)=m(m-1)(m-2)???(m-n?1),???,于是得幂级数解f(x)的各