重难点13 解三角形的重要模型和综合应用【九大题型】（举一反三）（新高考专用）(有解析）.docxVIP

重难点13解三角形的重要模型和综合应用【九大题型】

【新高考专用】

解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；综合考查以解答题为主，中等难度.对于解答题，主要考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，需要灵活求解.

【知识点1解三角形中的重要模型】

1．中线模型

(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.

(2)向量法：.

2．倍角模型

，这样的三角形称为“倍角三角形”．

推论1：；

推论2：.

3．角平分线模型

角平分线张角定理：如图，为平分线，则

斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．

4．等分点模型

如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.

易知∥，且，，．

【知识点2正、余弦定理解三角形的解题策略】

1．正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用

正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，实现三角形边角关系的互化，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

2．对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知

a,b和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0B=1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三

角形内角和等于”等，此时需进行讨论.

3．与三角形面积有关问题的求解思路：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．

(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．

【题型1三角形中的边、角计算】

【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=35,B=2A,b=8，则a=（????）

A．52 B．5 C．103

【解题思路】根据二倍角公式可和正弦定理求解.

【解答过程】由于B=2A，故A为锐角，故cosA=

故a=

故选：B.

【变式1-1】（2025·广东·一模）如图，已知∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=6，CD=7，则BD=（

??

A．?1+132 B．1+132 C．3或

【解题思路】由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠CAB，从而求出

【解答过程】∵∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=6，所以∠ABC=120°

∴AC

∴BC=AC×

∴CD

∴7=4+BD

解得BD=3或BD=?1（舍）

故选：D.

【变式1-2】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1,c=3,C=2π3

A．2 B．3 C．1 D．4

【解题思路】利用正弦定理将、余弦定理求解即可.

【解答过程】

由正弦定理得:csin

则sinB=

又因为∠C=2π3

所以cosB0,

在△ABC中由余弦定理得:b2

1=a2+32

又因为∠C=2π3，则a

故选：C.

【变式1-3】（2024·福建厦门·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b?c=14a，2sinB=3

A．?14 B．14 C．?

【解题思路】借助正弦定理结合题目所给条件可将所有边长的关系计算出来，再利用余弦定理代入计算即可得解.

【解答过程】由2sinB=3sin

则b?c=b?23b=

则c=2

故cosA=

故选：A.

【题型