苏科版八年级下册数学精品教学课件 极速提分法 第5招 构造中位线解题的五种常用方法.pptVIP

第5招构造中位线解题的五种常用方法

例典例剖析

方法1连接两点构造三角形的中位线分类训练1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________．

【点拨】

2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证：PM＝PN；

∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°.∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC(SAS)．∴AE＝DC.∴PM＝PN.

(2)求∠MPN的度数．【解】如图，设PM交AE于点F，PN交CD于点G，AE交CD于点H，AE交BD于点Q.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.又∵∠DQH＝∠BQA，∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝∠FHG＝120°.

3．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E.方法2已知角平分线及垂直构造中位线

(1)求证：DE∥BC；【证明】如图，延长AE交BC于点F.∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E，∴∠ACE＝∠FCE，∠AEC＝∠FEC＝90°.

(2)若AC＝5，BC＝7，求DE的长．

4．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点．求DE的长．

【解】如图，延长BD交AC于点F.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

方法3倍长法构造三角形的中位线

【证明】如图，延长FE到D，使DE＝EF，连接AD，BD.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，BE⊥DF.∴BE垂直平分DF.∴BD＝BF，∴∠BDE＝45°.∠DBF＝90°.∵∠CBF＋∠ABF＝∠ABC＝90°，∠ABD＋∠ABF＝∠DBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABD.

6．如图，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q两点，求∠APQ的度数．方法4已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

方法5已知一边中点，推理得出另一边中点，再取第三边中点构造三角形的中位线

【证明】如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于点E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵H为NC的中点，∴DH∥BN.

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