人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章 专项突破13 与切线有关的辅助线的作法.pptVIP

第二十四章圆专项突破13与切线有关的辅助线的作法

温馨提示：点击进入讲1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8．求证：PC是⊙O的切线．

证明：连接OC.∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．返回

2．[2025无锡月考]如图，在平面直角坐标系中，有A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)三点．(1)在图中画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；(2)圆心M的坐标为________；解：如图，点M即为所求．

(3)点D的坐标为(8，－2)，连接CD，判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由．解：直线CD与⊙M相切．理由：如图，连接MC，MD，由勾股定理得MC2＝42＋22＝20，CD2＝22＋42＝20，MD2＝22＋62＝40，∴MC2＋CD2＝MD2，∴∠MCD＝90°，即MC⊥CD，又∵MC为⊙M的半径，∴直线CD与⊙M相切．返回

3．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由.

解：PD与⊙O相切，理由如下：连接PO，易知∠AOP＝2∠ACP＝120°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∵PA＝PD，∴∠D＝∠OAP＝30°.∴∠OPD＝∠AOP－∠D＝90°，即OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．返回

4．[2025廊坊期末]如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为点O，∠BCD＝90°，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．

(1)求证：AE是⊙O的切线；证明：如图，连接OA，∵AE⊥CE，∴∠DAE＋∠ADE＝90°.∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠ADE＝∠OAD，∴∠DAE＋∠OAD＝90°，∴OA⊥AE.又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．

(2)若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．返回

5．独轮车俗称“手推车”，又名鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，独轮车几乎与毛驴起着同样的运输作用．如图是从独轮车中抽象出来的几何模型.在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，且PD⊥BC，垂足为D．求证：PD是⊙O的切线．

证明：连接OP，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠OPA＝∠C，∴OP∥BC.∵PD⊥BC，∴PD⊥OP.又∵OP是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．返回

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD.∵E是AC的中点，∴AE＝EC.又∵OB＝OC，∴OE是△ABC的中位线．∴OE∥AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∴∠OFC＝∠BDC＝90°，即OE⊥CD.又∵OD＝OC，∴∠DOE＝∠COE.

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7．[2024广东中考]如图，在△ABC中，∠C＝90°．(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；(保留作图痕迹，不要求写作法)解：如图①，AD即为所求作．

(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切．证明：如图②，作DE⊥AB于点E，∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC.∴DE是⊙D的半径，∴AB与⊙D相切．返回

8．如图，在两个同心圆中，AB，AC都是大圆的弦，且AB＝AC，AB与小圆相切于点D，则AC与小圆相切吗？请说明理由．

解：AC与小圆相切．理由如下：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图．由切线的性质可知OD⊥AB,由垂径定理可知AD＝DB，AE＝EC.返回

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