第三章矩阵及其运算3-5第五节 矩阵的秩与初等变换.PPTVIP

第五节矩阵的秩与初等变换

一、矩阵的秩的概念二、矩阵的初等变换三、用初等变换求矩阵的秩一、矩阵秩的概念由上述定义可以推知：（1）若则中所有大于阶的子式全为零，即是中非零子式的最大阶数.(2)若为矩阵，则.(3)若的所有阶子式都为零，则.(4)若中存在一个阶子式不为零，则.(5)若一个阶矩阵可逆，则.(6)为非零数.二、矩阵的初等变换定义：设为阶方阵，若，则称为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.

由定义可知，如果，则，

从而，即满秩矩阵是可逆矩阵，也就是非奇异矩阵；降秩矩阵就是不可逆矩阵，也就是奇异矩阵.三、小结例1解例2解定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价问题：经过变换矩阵的秩变吗？证经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．证毕三、用初等变换求矩阵的秩特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．注意：行最简形矩阵是由矩阵唯一确定的，行阶梯形矩阵不唯一,但其行数实是确定的,也是由原矩阵唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例3解