重难点14 数列的综合应用【十大题型】（举一反三）（新高考专用）(有解析）.docxVIP

重难点14数列的综合应用【十大题型】

【新高考专用】

数列是高考的重点、热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.近年来高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.

【知识点1等差、等比数列的交汇问题的解题策略】

1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路：

(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对

性质的灵活运用.

(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：

寻找通项公式，利用性质进行转化.

【知识点2数列的数学文化问题】

1．数列的数学文化问题的解题步骤：

(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；

(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；

(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.

【知识点3数列的新定义、新情景问题】

1．数列的新定义、新情景问题的求解策略

(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

【知识点4数列的综合应用及其解题策略】

1．数列与不等式交汇问题的解题策略

(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

(2)数列与不等式交汇问题的答题模板

第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；

第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；

第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；

第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.

2．数列与函数交汇问题的解题策略

数列与函数综合问题的主要类型及解题策略

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.

(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方

法等对式子化简变形.

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.

3．子数列问题的解题策略

子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.

4．数列中结构不良题的解法

(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.

(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.

5．数列的实际应用问题的解题策略

(1)数列的实际应用中的常见模型

①数列——分期付款模型；

②数列——产值增长模型；

③数列——其他模型；

(2)解决数列的实际应用问题的解题思路

①根据题意，分析题干条件，正确确定数列模型；

②利用数列知识求出数列的基本量、通项公式等，准确求解模型；

③通过数列模型解决问题，注意不要忽视问题的实际意义.

【题型1等差、等比数列的交汇问题】

【例1】（2024·江西新余·模拟预测）设等比数列an的前n项和为Sn，若对于某一个m∈N+使Sm,am+1,Sm+2成等差数列，则m的值可能为：（?????）

A．99 B．102 C．105 D．该值不存在

【解题思路】根据题意，分q=1与q≠1讨论，结合等比数列的通项公式以及求和公式代入计算，然后利用导数研究方程的根，分m为奇数与m为偶数讨论，即可得到结果.

【解答过程】①q=1，则：Sm=ma，am+1

Sm+S

②q≠1，则：Sm=a11?

于是由等差中项数列的性质化简得qm+2

令fq=

f′

令gq=m+2q

当m∈N+时，Δ0，所以g

当m为奇数时，?q0q≠0，则f

所以fq在?

当m为偶数时，同理可得：fq在?∞,0单