考点02常用逻辑用语（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）(有解析）.docxVIP

考点02常用逻辑用语（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．

【知识点】

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p?q且q?p

p是q的必要不充分条件

p?q且q?p

p是q的充要条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

p?q且q?p

2．全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．

3．全称量词命题和存在量词命题

名称

全称量词命题

存在量词命题

结构

对M中任意一个x，p(x)成立

存在M中的元素x，p(x)成立

简记

?x∈M，p(x)

?x∈M，p(x)

否定

?x∈M，﹁p(x)

?x∈M，﹁p(x)

常用结论

1．充分、必要条件与对应集合之间的关系

若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则

（1）若，则是的充分条件；

（2）若，则是的必要条件；

（3）若，则是的充分不必要条件；

（4）若，则是的必要不充分条件；

（5）若，则是的充要条件；

（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.

2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．

3．命题p与p的否定的真假性相反.

【核心题型】

题型一充分、必要条件的判定

充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．

【例题1】（2024·陕西·模拟预测）给出下列三个命题：

①命题，使得，则，使得；

②“或”是“”的充要条件；

③若为真命题，则为真命题.

其中正确命题的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】运用含有一个量词的命题的否定可判断①，解一元二次不等式并结合充分条件、必要条件的定义可判断②，运用复合命题的真假关系可判断③.

【详解】对于①，命题，使得，则，使得，故①正确；

对于②，因为的解集为或，所以“或”是“”的充要条件，故②正确；

对于③，若为真命题，则、中至少有一个为真命题，

当真假或假真时，则为假，当真真时，则为真，故③错误.

故正确的命题是①②，即正确命题的个数为2.

故选：C.

【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出当直线与圆有公共点时的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】圆的圆心为，半径为，

若直线与圆有公共点，则，解得，

因为，，，

所以，直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是为.

故选：B.

【变式2】（2024·全国·模拟预测）“”是“”成立的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性以及不等式的性质、充分条件、必要条件的定义即可判断.

【详解】取，则，但，故不充分，

取，则，但，故不必要．

故选：D．

【变式3】（2024·安徽淮北·一模）记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等差数列的求和公式可得，即可充要条件的定义求解.

【详解】若是递增数列，则公差，所以，

故，所以为递增数列，

若为递增数列，则，则，

故，所以是递增数列，

故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件，

故选：C

题型二充分、必要条件的应用

求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

【例题2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.

【详解】若命题“，”为假命题，

则命题的否定“，”为真命题，

即，恒成立，

，，当，取得最大值，

所以，选项中只有是的真子集，

所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.

故选：D

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1xm＋1成立的充分条件是则实数