第十一章　微点突破6　磁聚焦　磁发散.docxVIP

微点突破6磁聚焦磁发散

目标要求1.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。2.学会分析磁聚焦和磁发散问题。

1．带电粒子的会聚

如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚)

证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。

2．带电粒子的发散

如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)

例1(2023·广东清远市期末)如图所示，xOy坐标系中，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，第四象限与x轴和y轴相切的半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，其边界与x轴的切点为P点。x轴上方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为eq\f(1,2)B的匀强磁场Ⅱ。在第三象限(－2R，－R)处存在粒子源，带正电粒子由粒子源无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场Ⅰ，又恰好以垂直于x轴的方向经P点进入磁场Ⅱ，最后带电粒子都打到放置在x轴上的收集板上。带电粒子的比荷均为eq\f(q,m)，不计粒子间的相互作用和粒子受到的重力。若粒子源在第三象限(－2R，－eq\f(R,2))处，带电粒子仍能打到放置在x轴上的收集板上，求收集板的最小长度L。

答案(4－2eq\r(3))R

解析设粒子在匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的半径为r1，根据几何关系有r1＝R，粒子在匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝meq\f(v2,r1)

根据题中条件可知，粒子源改变位置后带电粒子仍从P点进入匀强磁场Ⅱ，设粒子进入匀强磁场Ⅱ时与x轴正方向的夹角为θ，

根据几何关系有r1cosθ＋eq\f(R,2)＝r1

根据几何关系可知，此时带电粒子打在收集板上的落点到P点的距离d＝2r2sinθ，且r2＝eq\f(mv,q·\f(1,2)B)，收集板的最小长度L＝2r2－d，解得L＝(4－2eq\r(3))R。

例2(2023·江苏常州市期中)如图所示，O′PQ是关于y轴对称的四分之一圆，在PQNM区域有均匀辐向电场，PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O′进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。

(1)求带电粒子的比荷eq\f(q,m)；

(2)求沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间；

(3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。

答案(1)eq\f(2U,B2R2)(2)eq\f(BπR2,4U)(3)－eq\f(\r(2),2)R～eq\f(\r(2),2)R

解析(1)由动能定理可知qU＝eq\f(1,2)mv2

由已知条件结合几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的半径R0＝R

洛伦兹力提供向心力qvB＝meq\f(v2,R0)，得eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2R2)

(2)沿y轴正方向入射的带电粒子，设其在磁场中做圆周运动的圆心角为θ，由几何关系θ＝90°，所以t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(1,4)T，且T＝eq\f(2πR,v)，解得t＝eq\f(BπR2,4U)

(3)如图，沿QN方向入射的带电粒子，离开磁场的出射点a在y轴上的投影与O′的距离为Δy＝R＋eq\f(\r(2),2)R，故a点的纵坐标ya＝eq\f(\r(2),2)R

同理可得，沿PM方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b的纵坐标yb＝－eq\f(\r(2),2)R

带电粒子离开磁场时的纵坐标范围－eq\f(\r(2),2)R～eq\f(\r(2),2)R