2026人教A版高考数学一轮复习专练： 空间向量与线面位置关系.pdfVIP

第6节空间向量与线面位置关系

考试要求1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其义，掌握空间向

量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空

间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解

直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和

垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

■知识

【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

(或平行向量)的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任两个空间向量a,a〃办的充要条件是存在实数

九使得

(2)共面向量定理：如果两个向量a,8不共线，那么向量p与向量a,力共面的充

要条件是存在唯二的有序实数对(x,y),使

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,c不共面，那么对任一个空间向量

P，存在唯一的有序实数组(x,y,Z),使得上+zc,其中，a｛,b,c｝叫做

空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作为=a,OB=

b,则NA03叫做向量a与8的夹角，记作＜a,b),其范围是0「,兀］,若a〈,b)

jr

=会则称a与〃互相垂直,记作小尻

⑵两向量的数量积：已知两个非零向量a,b,则⑷依|cosa〈,b)叫做a,的数

量积，记作ab,即a-/=|a|囹cosa〈,b).

⑶空间向量数量积的运算律

①结合律：(Ad)b=A(a-b)；

②交换律：ab=ba-,

③分配律：a(J)+c)=ab+a-c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a=(ai,。2,。3),b=(bi,bi,fe).

向量表示坐标表示

数量积a-b〃血+〃2岳+〃3历

共线°=劝(*0,2£R)ai=2Z7l,〃2=2力2,=

垂直a协=0(aW0,bW。)〃仍1+〃2历+〃3,3=0

模\a\q屏+港+海

/、。仍1+。2历+。363

夹角(a,b)(aWO,bWO)co、\a,b/++屏+加+房

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行或重

合，则称此向量a为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线取直线/的方向向量a