数值分析解线性方程组的迭代法.pptVIP

第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日一、迭代法的一般形式同解变形构造迭代公式任取初始向量x(0)，代入迭代公式，产生向量序列{x(k)}，若x(k)收敛，则当k充分大时，以x(k)作为方程组的近似解，就是迭代法.第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日二、向量序列的收敛性定义1设{x(k)}为Rn中的向量序列，x∈Rn，如果其中||.||为向量范数，则称序列{x(n)}收敛于x，记为第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理1Rn中的向量序列{x(k)}收敛于Rn中的向量x当且仅当其中第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日三、矩阵序列的收敛性定义2设{A(k)}为n阶方阵序列，A为n阶方阵，如果其中||.||为矩阵范数，则称序列{A(n)}收敛于A，记为第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理2设A(k)=(aij)(k=1,2,…)，A=(aij)均为n阶方阵，则矩阵序列{A(n)}收敛于矩阵A的充要条件为第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日???请回答:对于任何一个方程组x=Bx+f(由Ax=b变形得到的等价的方程组)，按迭代法作出的向量序列x(k)是否一定逐步逼近方程组的解x*呢？答：不一定！例如用迭代法解方程组其精确解为若选初值x(0)=(0,0)T进行迭代，则不可能收敛到精确解.第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日因此下面我们将要研究几个问题：如何构造迭代公式？如何判断迭代公式收敛？在收敛条件下，如何判断收敛速度？第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日一、Jacobi迭代法§迭代法（2）二、Gauss-Seidel迭代法三、超松弛迭代法第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日一、Jacobi迭代法1.Jacobi迭代法举例例：求解方程组其中精确解是x*=(3,2,1)T第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日解：将原方程组改写为则迭代公式为：若选x(0)=(0,0,0)T,则迭代10次有x(10)=(3.000032,1.999838,0.9998813)T这就是Jacobi迭代法！第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日2.Jacobi迭代法一般形式由方程组的系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠0，方程组变形为第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日对应上述的方程组，可得迭代公式为其中x(k)为第k次迭代向量.Jacobi迭代法的一般公式第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日3.Jacobi迭代法的矩阵形式将方程组记为Ax=b其中A非奇异且aii≠0(I=1,2,…,n).将A分裂为A=D－Ｌ－Ｕ其中第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日由此可将变形过程用矩阵表示为Dx=(L+U)x+b即x=D-1(L+U)x+D-1b简记为x=B0x+f故Jacobi迭代公式的矩阵形式为第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日二、Gauss-Seidel迭代法1.Gauss-Seidel迭代法举例例：求解方程组精确解是x*=(3,2,1)T第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日解：将原方程组改写为则迭代公式为：若选x(0)=(0,0,0)T,则迭代5次有x(5)=(2.999843,2.000072,1.000061)T这就是Gauss-Seidel迭代法:认为必威体育精装版计算出的分量可能比旧的分量要好些！第17页，共28页，星期日，2025年，2月5日2.Gauss-Seidel迭代法一般形式对应于变形方程组G-S迭代公式可写为：其中x(k)为第k次迭代向量.第18页，共28页，星期日，2025年，2月5日3.Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式将方程组记为Ax=b其中A非奇异且aii≠0(I=1,2,…,n).将A分裂为A=D－Ｌ－Ｕ其中第19页，共28页，星期日，2025年，2月5日由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为Dx=(L+U)x+b这G-S迭代可表示为