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2026届北京十四中高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数和复数,则为
A. B. C. D.
2.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
3.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()
A. B. C. D.
4.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,,则;
②若,,,则;
③若,,,则;
④若,,,,则.其中正确的是()
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
5.正项等差数列的前和为,已知,则=()
A.35 B.36 C.45 D.54
6.直线与圆的位置关系是()
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
7.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:
甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;
乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;
丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路;
事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是()
A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路
C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路
8.已知角的终边经过点,则的值是
A.1或 B.或 C.1或 D.或
9.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线,若与轴的交点坐标为,则该双曲线的标准方程可能为()
A. B. C. D.
10.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()
A. B. C. D.
11.若函数()的图象过点,则()
A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心
C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴
12.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.平面向量,,(R),且与的夹角等于与的夹角,则.
14.已知集合,,则_____________.
15.已知函数f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x﹣e,则a+b=_____.
16.若存在直线l与函数及的图象都相切,则实数的最小值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若,求曲线与的交点坐标;
(2)过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线,交于点,且的最大值为,求的值.
18.(12分)已知数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,为数列的前项和.求证:.
19.(12分)已知函数
(1)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(2)若函数对恒成立,求实数的取值范围.
20.(12分)如图,在直三棱柱中,分别是中点,且,.
求证:平面;
求点到平面的距离.
21.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三
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