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极限基础知识点

一、极限的定义

1.数列极限

-对于数列\(\{a_{n}\}\)，如果存在一个常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(nN\)时，\(\verta_{n}-A\vert\varepsilon\)成立，那么就称常数\(A\)是数列\(\{a_{n}\}\)的极限，记作\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A\)。例如，数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，当\(n\)趋向于无穷大时，\(a_{n}\)趋向于\(0\)。因为对于任意给定的\(\varepsilon0\)，取\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1\)，当\(nN\)时，\(\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}\varepsilon\)。

2.函数极限

-当\(x\)趋向于某个值\(x_{0}\)时的极限。设函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)的某一去心邻域内有定义，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(0\vertx-x_{0}\vert\delta\)时，\(\vertf(x)-A\vert\varepsilon\)成立，那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\rightarrowx_{0}\)时的极限，记作\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)。例如，对于函数\(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}\)，当\(x\rightarrow1\)时，\(f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)（\(x\neq1\)），\(\lim_{x\rightarrow1}f(x)=2\)。

-当\(x\)趋向于无穷大时的极限。设函数\(y=f(x)\)，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正数\(X\)，使得当\(\vertx\vertX\)时，\(\vertf(x)-A\vert\varepsilon\)成立，那么就称常数\(A\)为函数\(y=f(x)\)当\(x\rightarrow\infty\)时的极限，记作\(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\)。

二、极限的性质

1.唯一性

-若数列\(\{a_{n}\}\)极限存在，则极限是唯一的。对于函数极限也一样，若\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)\)存在，则极限值是唯一的。例如，不可能存在一个数列\(\{a_{n}\}\)同时趋向于两个不同的常数\(A\)和\(B\)（\(A\neqB\)）。

2.局部有界性

-若\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)，则存在\(x_{0}\)的某一去心邻域\(U^{\circ}(x_{0})\)，在这个邻域内\(f(x)\)有界。对于数列\(\{a_{n}\}\)，如果\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=A\)，那么存在正整数\(N\)，当\(nN\)时，\(\{a_{n}\}\)有界。

3.局部保号性

-若\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A0\)（或\(A0\)），则存在\(x_{0}\)的某一去心邻域\(U^{\circ}(x_{0})\)，在该邻域内\(f(x)0\)（或\(f(x)0\)）。对于数列极限也有类似的性质。

三、极限的计算方法

1.四则运算法则

-若\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)=A\)，\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}g(x)=B\)，则\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}(f(x)\pmg(x))=\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)\pm\lim_{x\rightarrowx_{0}}g(x)=A\pmB\)；\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}(f(x)\cdotg(x))=\lim_{x\rightarrowx_{0}}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrowx_{0}}g(x)=A\cdotB\)；当\(B\neq0\)时，\(\lim_{x\rightarrowx_{0}}\f