函数微分法及其应用.pptxVIP

第八章多元函数微分学一多元函数与极限二多元函数的偏导数三多元函数的全微分及其应用四多元复合函数的微分法五*多元函数的极值

一、多元函数的概念实例分析多元函数

多元函数的概念定义1：设在某一过程中有三个变量x,y和z，如果对于1变量x,y在其变化范围D内的每一对值(x,y)，2按照法则f有唯一确定的值z∈R与之对应，3那么这种法则就规定了一个函数：4其中x，y称为自变量，z称为因变量，D为定义域。5D中任一对数(x,y)在法则f下的对应值z，称为f6在点(x,y)的函数值，记作z=f(x,y)。7

BA函数f的函数值的全体称为函数f的值域。函数的两个要素:定义域，对应法则

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:

一、多元函数极限

注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中

确定极限不存在的方法：

二、多元函数连续

1定义3：设函数z=f(x,y)在点及其附近有定义2如果，就称函数3f(x,y)在点连续。如果f(x,y)在区域D的4每一点都连续，就称f(x,y)在区域D连续。

满足以下条件：

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。01一切多元初等函数在其定义域内是连续的．02在定义域内的连续点求极限可用“代入法”：03

例７解

第二节多元函数的偏导数偏导数

在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让x变化.则z成为一元函数z=f(x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.偏导数的定义

则称这个极限值为z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.即此时也称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数存在.否则称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.

类似,若固定x=x0,而让y变,z=f(x0,y)成为y的一元函数.则称它为z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.即

定义：设函数z=f(x,y)在点的某个邻域内有定义。固定，给x增量，相应的函数z有增量，称为z关于x的偏增量。如果极限存在，就称其为函数f(x,y)在点处对x的偏导数，记作

函数f(x,y)在点处对y的偏导数，记作

若z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处时x的偏导数都存在,即?(x,y)?D,存在.此时,它是x,y的二元函数.称为z对x的偏导函数.简称偏导数.记作类似定义z对y的偏导函数.

由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将f(x,y)看作一元函数来定义的.01注02因此,在实际计算时,求fx(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.03求fy(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.04

2.fx(x0,y0)就是fx(x,y),在点(x0,y0)的值.算fx(x0,y0)可用3种方法.fy(x0,y0)fy(x,y)fy(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算fx(x,y),再算fx(x0,y0)fy(x,y),fy(x0,y0).

例1.解:

解:例2.

例4.解:

在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用.即,对多元函数f(x,y)而