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如何学好数学分析

刘轼波（厦门大学）

数学分析是数学系最重要的课程。许多后续课程都以它为基

础，例如常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数，以及

泛函分析。这些都属于分析数学的范畴。

此外，作为几何学一分支的拓扑学，主要研究拓扑空间在连

续映射下不变的性质，而连续映射是数学分析中研究的连续函数

的推广。而当今数学研究中最重要的部门——微分几何，乃是在

微积分对几何学的应用过程中发展起来的，因此也离不开数学分

析的理论和方法。所以，要顺利完成数学系本科阶段的学习，学

好数学分析非常重要。说得更长远一点，任何有志于从事数学研

究的青年学子，好好掌握数学分析的理论和方法是关键的第一步。

要学好数学分析是没有捷径可走的。对其他课程，也是如此。

如果真有这样的捷径，老师在上课时早就告诉大家了。这样的话，

是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢?如果只是蛮干，是

不会有好的结果的，而且会很累。我见过不少同学，书都读破了，

书页上也写满了笔记或是在读书过程中的心得，看来还是很用功

的。但是他跑来问我的问题却很简单，有些甚至在书上就有明白

的解释。我把书翻给他看，他才恍然大悟。我想，这是由于他虽

然花了很多时间，但却没有认真对以下要提到的几个方面进行思

考。所以他对基本内容没有很深的印象。

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下面我想就数学分析的学习，谈谈我的看法。一谈到数学的

学习，很多人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还

是要先仔细研读教科书，搞清楚每个定义和定理。在这个基础上

适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定

理也没有吃透，就急急忙忙去做习题，必然会碰到很多困难，甚

至会丧失自信心。这是一种不可取的学习方法。

首先，要彻底弄清楚接触到的每个定义。数学上的定义，都

是从许多具体的事例中抽象出来的。这些定义虽然是具体事例的

抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思考，并且通过具

体的例子来掌握各个定义的内涵。

数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要仔细揣

摩，体会它们的作用。有时还需要通过正反两方面的例子来辨析

不同的概念。只有这样才能真正掌握，并能在推理中做到灵活运

用。

其次，每学习一个定理时，就要从内涵上弄清这个定理的含

义，即它到底说了什么事情。这往往可以结合几何直观来把握。

然后就是研究定理中要求的条件。这可以通过研究定理的证明了

解这些条件的作用，还可以通过反例来弄清当某个条件不成立时，

结论为何不对。通过这样正反面的思考，就会对这个定理有比较

好的理解。我见到很多数学系的学生，在解题时说“因为f是闭

集F上的连续函数，所以f有界”。之所以犯这样的错误，就是因

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为没有很好地掌握“有界闭集上的连续函数必有界”这个定理。

再者，定理的证明也值得我们好好研究。通过研读定理的证

明，可以加深我们对这个定理的理解。而且，在定理的证明过程

中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证方法。熟悉这些方

法之后，我们就自然能够把它们应用到我们面临的问题中去。有

些定理的证明是很漂亮的，充分展现了数学的美。我们在学习过

程中还要好好体会这种美，这对提高我们的数学素养不无益处。

当然，有些定理的证明比较繁难，为了不打击自信心，我们可以

先跳过它，等过后有机会再回来研究它。事实上，有些定理本身

很重要，但它的证明却未必非常重要。关于这一点，大家可以去

看伍洪熙先生在北京大学出版社出版的《黎曼几何初步》前面的

“致读者的话”第iv页关于弧长的二次变分公式的叙述。这整篇

“致读者的话”对学数学的人都是很有启发性的。

另外，学了一个定理后，一个很重要的方面就是如何把它应

用到各种问题中去。这甚至比定理本身的证明更为重要。设想，

如果你由一个定理推出一些有趣的结论，那你一定会觉得这个定

理妙不可言。数学分析中的许多定理都有很直观的几何意义。许

多证明题，如果从几何直观上看就很好理解。这样的几何直观往

往会启发我们发现解题的思路。

我们还可以从全局的角度来看我们学过的定理，看它和数学

分析中的其它定理有什么联系。比方说为什么需要这个定理?想

象一下，如果没有闭区间上连续函数的性质的各个定理，整个数