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探索弹性界面问题：扩展有限元方法的原理、应用与创新

一、引言

1.1研究背景与意义

在众多工程和科学领域中，弹性界面问题广泛存在且至关重要。从航空航天领域飞行器结构部件间的连接，到土木工程里不同材料结构体的结合，再到生物医学中人体组织器官间的力学交互，弹性界面问题的研究贯穿其中。以航空发动机为例，其高温部件由不同材料制成，在高温、高压和高转速的极端工况下，部件间的弹性界面力学行为直接关系到发动机的性能、可靠性与安全性。倘若弹性界面处的应力集中处理不当，可能引发裂纹萌生与扩展，进而导致部件失效，危及飞行安全。在建筑工程中，基础与上部结构之间的弹性界面力学性能，对建筑物在地震等自然灾害作用下的响应起着关键作用。合理设计和分析弹性界面，能够有效提高建筑物的抗震能力，保障人民生命财产安全。

传统的数值方法，如有限元法，在处理连续介质力学问题时展现出强大的能力，能够有效解决各种复杂的力学问题。然而，当面对弹性界面问题时，其局限性便凸显出来。在弹性界面处，由于材料属性的突变和位移、应力的不连续性，传统有限元法需要对网格进行极其精细的划分，以准确捕捉这些变化。这不仅导致计算量呈指数级增长，大大增加了计算成本，还容易引发数值计算的不稳定，降低计算精度。为了更好地解决弹性界面问题，学者们不断探索和研究新的方法，扩展有限元方法应运而生。

扩展有限元方法作为一种新兴的数值计算方法，在解决弹性界面问题上具有显著优势。它打破了传统有限元方法对网格的严格依赖，通过引入特殊的富集函数，能够在不加密网格的前提下，精确地描述弹性界面处的不连续性，从而有效提高计算精度。在处理含有裂纹的弹性体时，扩展有限元方法可以通过在裂纹尖端和裂纹面附近引入相应的富集函数，准确模拟裂纹尖端的应力奇异性和裂纹面的位移间断，避免了传统有限元方法因网格划分不当而导致的计算误差。这种方法无需随着界面的变化而频繁重构网格，极大地减少了计算工作量，提高了计算效率，使得大规模复杂弹性界面问题的求解成为可能。

此外，扩展有限元方法在处理多物理场耦合的弹性界面问题时也表现出独特的优势。在许多实际工程中，弹性界面不仅涉及力学场，还与温度场、电磁场等相互耦合，如在电子器件中，芯片与封装材料之间的弹性界面在工作过程中会受到热应力和电磁力的共同作用。扩展有限元方法能够将不同物理场的控制方程进行有效耦合，通过统一的数值框架进行求解，为多物理场耦合问题的研究提供了有力的工具。

对弹性界面问题的深入研究以及扩展有限元方法的应用，具有重要的理论意义和实际应用价值。在理论方面，它丰富和完善了计算力学的理论体系，为解决复杂的不连续问题提供了新的思路和方法。在实际应用中，能够为工程设计提供更准确的力学分析依据，优化结构设计，提高工程结构的可靠性和安全性，降低工程成本，推动航空航天、土木工程、生物医学等众多领域的技术进步和创新发展。

1.2国内外研究现状

在弹性界面问题的研究历程中，众多学者投入了大量精力并取得了一系列成果。早期，研究者主要采用解析方法对简单几何形状和边界条件下的弹性界面问题进行求解。在研究均匀材料弹性体的界面应力分布时，通过理论推导得到了一些经典的解析解，为后续研究奠定了基础。然而，解析方法的应用范围极为有限，面对复杂的几何形状、材料特性以及多物理场耦合等实际工程问题时，往往难以求解。

随着计算机技术的飞速发展，数值方法逐渐成为解决弹性界面问题的主流手段。有限差分法作为较早发展起来的数值方法，通过将求解区域离散为网格，利用差分格式逼近微分方程，在一些简单的弹性界面问题中得到了应用。但由于其对复杂边界条件的处理能力较弱，在面对不规则形状的弹性界面时，计算精度和效率受到较大限制。

有限元法的出现极大地推动了弹性界面问题的研究进展。它将连续体离散为有限个单元，通过节点连接，利用变分原理或加权余量法建立求解方程，能够有效处理复杂的几何形状和边界条件。在处理复杂结构的弹性力学分析时，有限元法能够准确计算出结构的应力、应变分布，在工程领域得到了广泛应用。在处理弹性界面问题时，有限元法仍面临诸多挑战。为了精确捕捉界面处的不连续性和应力集中现象，需要对界面附近的网格进行精细划分，这不仅导致计算量大幅增加，而且容易引发数值振荡和不稳定问题。

为了克服有限元法的这些缺陷，扩展有限元方法应运而生。1999年，美国西北大学的Belytschko研究组首次提出扩展有限元法，其核心思想是在标准有限元框架下，通过引入特殊的富集函数来描述不连续界面，从而使有限元的位移近似函数能够准确反映界面处的位移和应力变化。该方法的提出为弹性界面问题的求解开辟了新的途径，迅速成为计算力学领域的研究热点。

在扩展有限元方法的理论研究方面，国内外学者取得了丰硕成果。在富集函数的构造上，研究者们针对不同的问题类型提出了多种形式的富集函