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2026届上海市莘庄中学数学高三第一学期期末考试试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在菱形中,,,,分别为,的中点,则()
A. B. C.5 D.
2.已知复数,,则()
A. B. C. D.
3.已知数列满足,则()
A. B. C. D.
4.已知向量,,当时,()
A. B. C. D.
5.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()
附:若,则,.
A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544
6.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().
A.1 B. C.2 D.3
8.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()
A. B.
C. D.
9.已知集合(),若集合,且对任意的,存在使得,其中,,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是()
A. B. C. D.
10.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()
A. B.
C. D.
11.设等差数列的前n项和为,若,则()
A. B. C.7 D.2
12.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则等于()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑中,平面,,且,过点分别作于点,于点,连接,则三棱锥的体积的最大值为__________.
14.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.
15.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.
16.已知等边三角形的边长为1.,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.
(1)求和的标准方程;
(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.
18.(12分)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若关于的不等式的解集包含,求实数的取值范围.
19.(12分)如图所示,在四面体中,,平面平面,,且.
(1)证明:平面;
(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.
20.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
21.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面.
22.(10分)已知函数,.
(1)若不等式的解集为,求的值.
(2)若当时,,求的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系,用坐标表示出,再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设与交于点,以为原点,的方向为轴,的方向为轴,建立直角坐标系,
则,,,,,
所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题,难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题,如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
2、B
【解析】
分析:利用的恒等式,将分子、分母同时乘以,化简整理得
详解:,故选B
点睛:复数问题是高考数学中的常考问题,属于得分题,主要考查的方面有:复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算,在运算时注意符号的正、负问题.
3、C
【解析
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