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高数b书本题目及答案

一、选择题（每题2分，共10分）

1.函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是：

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

2.极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案：C

3.函数f(x)=x^3-3x+1的导数是：

A.3x^2-3

B.x^2-3x+1

C.3x^2-3x+1

D.3x^2-3x

答案：A

4.函数f(x)=e^x的不定积分是：

A.e^x+C

B.e^x-C

C.xe^x+C

D.xe^x-C

答案：A

5.函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是：

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案：A

二、填空题（每题3分，共15分）

1.函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数是______。

答案：3x^2-12x+11

2.函数f(x)=x^2-4x+3的二阶导数是______。

答案：2

3.极限lim(x→∞)(x^2/(x^3+1))的值是______。

答案：0

4.函数f(x)=e^x的二阶导数是______。

答案：e^x

5.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点是______。

答案：1

三、计算题（每题5分，共20分）

1.求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

解：首先求导数f(x)=3x^2-12x+11，令f(x)=0，解得x=1或x=3。然后求二阶导数f(x)=6x-12，代入x=1和x=3，得到f(1)=-60，f(3)=60，所以x=1是极大值点，x=3是极小值点。

2.求极限lim(x→0)(sin(x)/x)。

解：根据洛必达法则，lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)(cos(x)/1)=1。

3.求函数f(x)=e^x的不定积分。

解：根据指数函数的积分公式，∫e^xdx=e^x+C。

4.求函数f(x)=x^2-4x+3的零点。

解：令f(x)=0，解得x^2-4x+3=0，即(x-1)(x-3)=0，所以零点为x=1和x=3。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极小值。

证明：首先求导数f(x)=3x^2-3，令f(x)=0，解得x=1或x=-1。然后求二阶导数f(x)=6x-3，代入x=1，得到f(1)=30，所以x=1是极小值点。

2.证明极限lim(x→∞)(x^2/(x^3+1))=0。

证明：根据极限的定义，对于任意ε0，存在N0，使得当xN时，|(x^2/(x^3+1))-0|ε。取N=1/ε，当xN时，有|x^2/(x^3+1)|ε，所以lim(x→∞)(x^2/(x^3+1))=0。

五、应用题（每题15分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其在区间[1,3]上的最小值。

解：首先求导数f(x)=3x^2-12x+11，令f(x)=0，解得x=1或x=3。然后求二阶导数f(x)=6x-12，代入x=1和x=3，得到f(1)=-60，f(3)=60，所以x=1是极大值点，x=3是极小值点。计算f(1)=-2，f(3)=0，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。

2.已知函数f(x)=e^x，求其在区间[0,1]上的定积分。

解：根据指数函数的积分公式，∫e^xdx=e^x+C。计算∫(0to1)e^xdx=[e^x](0to1)=e^1-e^0=e-1。

通过以上题目的练习，可以加深对高数B中函数、极限、导数、积分等概念的理解和应用。