高数极限题目及答案知网.docxVIP

高数极限题目及答案知网

一、选择题（每题5分，共20分）

1.极限的定义中，如果对于任意的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0|x-a|δ时，有|f(x)-L|ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。下列选项中，哪一个是正确的极限表达式？

A.\(\lim_{x\to2}(x^2-4)=0\)

B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)

C.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)

D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)

答案：B

2.求下列极限：

A.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)

B.\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)

C.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)

D.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)

答案：A

3.已知函数f(x)在x=a处连续，下列哪个选项是正确的？

A.\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a)\)

B.\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a+1)\)

C.\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a-1)\)

D.\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a)+1\)

答案：A

4.函数f(x)=x^2在x趋近于0时的极限是：

A.0

B.1

C.2

D.4

答案：A

二、填空题（每题5分，共20分）

1.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的值是_______。

答案：\(\frac{1}{2}\)

2.计算极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-1}{x^2+1}\)的值是_______。

答案：\(\infty\)

3.计算极限\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}\)的值是_______。

答案：3

4.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)的值是_______。

答案：1

三、计算题（每题10分，共30分）

1.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)。

解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2\cdot1=2

\]

答案：2

2.求极限\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)。

解：首先对分子进行因式分解，得到

\[

\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4

\]

答案：4

3.求极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+5x+3}\)。

解：将分子和分母都除以x^2，得到

\[

\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}}=\frac{1}{2}

\]

答案：\(\frac{1}{2}\)

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

证明：对于任意的正数ε，我们需要找到一个正数δ，使得当0|x|δ时，有

\[

\left|\frac{\sinx}{x}-1\right|\varepsilon

\]

由于对于所有的x，有|sinx|≤|x|，我们可以取δ=ε，这样当0|x|δ时，有

\[

\left|\frac{\sinx}{x}-1\right|=\left|\frac{\sinx-x}{x}\right|≤\frac{|x|}{|x|}=1\varepsilon

\]

因此，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

答案：证明完毕。

2.证明\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\