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高数极限值题目及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是多少？

A.0

B.1

C.2

D.不存在

答案：B

2.计算极限\(\lim_{x\to1}(x^2-1)\)的结果。

A.0

B.1

C.-1

D.2

答案：A

3.判断极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{x^2-4x+4}\)是否存在。

A.存在

B.不存在

C.0

D.无穷大

答案：A

4.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)的值。

A.0

B.1

C.2

D.-1

答案：B

5.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的结果。

A.0

B.1/2

C.1

D.-1

答案：B

二、填空题（每题5分，共30分）

1.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)的值是______。

答案：1/2

2.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的值是______。

答案：1/2

3.计算极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}\)的值是______。

答案：无穷大

4.求极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}\)的值是______。

答案：0

5.计算极限\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)的值是______。

答案：2

6.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)的值是______。

答案：1

三、计算题（每题10分，共40分）

1.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)。

解：利用洛必达法则，因为分子分母同时趋向于0，所以可以进行洛必达法则：

\[

\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2}=\frac{1}{2}

\]

答案：1/2

2.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)。

解：同样利用洛必达法则，因为分子分母同时趋向于0：

\[

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}

\]

答案：1/2

3.计算极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+4x+1}\)。

解：分子分母同时除以\(x^2\)：

\[

\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+4x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}

\]

答案：1/2

4.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\)。

解：利用洛必达法则，因为分子分母同时趋向于0：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{2x(1+x)}=\lim_{x\to0}\frac{-1}{2(1+x)}=-\frac{1}{2}

\]

答案：-1/2

四、证明题（每