线性代数行列式的展开计算.pptVIP

行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.行列式的计算在这三种方法中,方法1主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子.第31页，共57页，星期日，2025年，2月5日下面举几个n阶行列式计算的例子.例设证明递推关系式Dn=?nDn-1-?n-1?n-1Dn-2(n2).第32页，共57页，星期日，2025年，2月5日按Dn的第n列展开,得证明第33页，共57页，星期日，2025年，2月5日展开,即为上式中?n的代数余子式是与Dn同类型的n-1阶行列式Dn-1,而对?n-1的余子式按第n-1行第34页，共57页，星期日，2025年，2月5日?n-1Dn-2,至此我们得到Dn=?nDn-1-?n-1?n-1Dn-2.证毕关系式在计算数学中常被引用.Dn是常见的n阶三对角行列式,所证的递推第35页，共57页，星期日，2025年，2月5日例计算n阶行列式第36页，共57页，星期日，2025年，2月5日=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式,在这里?i=2,?i=?i=1(i=1,2,···,n),由果可得Dn=2Dn-1-Dn-2.适当移项可得关于Dn的递推关系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=···=D2-D1.因D2=4-1=3,D1=2,D2-D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···的结解第37页，共57页，星期日，2025年，2月5日第四节Cramer法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、Cramer法则三、小结第38页，共57页，星期日，2025年，2月5日设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、齐次与非齐次线性方程组的概念第39页，共57页，星期日，2025年，2月5日二、Cramer法则定理1如果线性方程组的系数行列式不等于零，即第40页，共57页，星期日，2025年，2月5日线性代数行列式的展开计算第1页，共57页，星期日，2025年，2月5日第2页，共57页，星期日，2025年，2月5日决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解第3页，共57页，星期日，2025年，2月5日第三节行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结第4页，共57页，星期日，2025年，2月5日例如一、余子式与代数余子式第5页，共57页，星期日，2025年，2月5日启示:三阶行列式可按第一行“展开”.对式适当重新组合,易见该三阶行列式也可按第一列“展开”.第6页，共57页，星期日，2025年，2月5日余子式和代数余子式Aij叫做元素aij的代数余子式.定义在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij;Aij=(–1)i+jMij,记第7页，共57页，星期日，2025年，2月5日在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第8页，共57页，星期日，2025年，2月5日第9页，共57页，星期日，2025年，2月5日引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第10页，共57页，星期日，2025年，2月5日定