第五讲立体几何理科参考答案数学专页《名师大讲堂》二轮复习资料 理科.docVIP

第五讲参考答案

第一节空间向量

变式与引申1

图5-1-1解：（I）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图5-1-1，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.设为平面BDE的法向量，则，即，令，得，.

图5-1-1

，，

又面BDE，AF//平面BDE.

（II）由（I）知，所以,

所以,.又因为，所以平面BDE.

变式与引申2

ABCDPxyzH

A

B

C

D

P

x

y

z

H

图5-1-2

则，．连结，．

在平面中，延长交于．设，

由已知，由

可得．解得，所以．

（Ⅰ）因为，

所以．即与所成的角为．

（Ⅱ）平面的一个法向量是．

因为，

所以．

可得与平面所成的角为．

变式与引申3

（Ⅰ）略

（Ⅱ）解：以O为原点,如图5-1-3建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),E(,,0),

∴

图5-1-3∴异面直线AB与CD所成角的余弦值

图5-1-3

（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则

∴

令y=1,得n=(-)是平面ACD的一个法向量.

又

图5-1-11PYZX∴点

图5-1-11

P

Y

Z

X

h=

变式与引申4

解（１）建立如图5-1-4所示的空间直角坐标系,则

A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),

D1(0,0,1).

所以

又由知为平面的一个法向量.

设与所成的角为,

则

依题意有：,

解得.

故当时,直线与平面所成的角的正切值为.

（２）若在上存在这样的点,设此点的横坐标为,

则.

依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等价于

即为的中点时,满足题设的要求.

习题5-1

D

2答案：2.解答，，由

得，即，解得

3解：（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图5-1-5）

图5-1-5由题意有，设，

图5-1-5

则

由直线与直线所成的解为，得

，即，

解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得

平面的法向量取为

设与所成的角为，则

显然，二面角的平面角为锐角，

故二面角的平面角大小的余弦值为

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知，为正方形

∴

（Ⅲ）解法二：取平面的法向量取为，则点A到平面的距离

∵，

∴

图5-1-64、（Ⅰ）建立如图5-1-6所示的空间直角坐标系,则（0,0,1）,M（0,,0）,C(0,1,0),N(0,1,),A(),所以,

图5-1-6

,,.

因为

所以,同法可得.

故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角

∴﹤﹥＝

故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为.

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量,则由得

故可取

设与n的夹角为a,则.

所以到平面AMN的距离为.

5、解答：设正方体的棱长为1.以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系.

依题意，得B(1,0,0),E(0,1,,A(0,0,0),D(0,1,0).

所以BE=(-1,1,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以AD是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

依题意，得A1(0,0,1),BA1=(-1,0,1),BE=(-1,1,

设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·BA1=0,n·BE=0,得-x+z=0,-x+y+

所以x=z,y=.取z=2,得n=(2,1,2).

设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1),(0≤t≤1).又B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1,0).而B1FBE，

于是B1F∥平面A1BE这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F∥平面A1BE

第二节平行与垂直

变式与引申1：(1)答案:A.解析:设正三棱柱的底边长为，则，解得，又由，解得，所以三棱柱的左视图的面积为，故选A

(2)答案:A.解析:由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A.

变式与引申2：解(1)因为ABCD为菱形，所以AB=BC，又，所以AB=BC=AC，

又M为BC中点，所以而平面ABCD，平面ABCD,所以

又，所以平面

（2）因为又底面所以

所以，三棱锥的体积

(3)存在，取PD中点E，连结NE，EC,AE,因为N，E分别