数值积分与微分.ppt

3.*数值积分与微分第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日引言依据微积分基本定理,只要找到被积函数的原函数，，便有牛顿-莱伯尼兹公式由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日数值求积的基本思想依据积分中值定理，就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。取内若干个节点处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的权。第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对均能准确成立，但对不准确，则称机械求积公式具有次代数精度。事实上，令求积公式对准确成立，即得可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日插值型的求积公式设已给在节点的函数值，作插值多项式其中由于多项式的求积是容易的，令这样得到的求积公式称为插值型的求积公式，其求积系数为定理机械求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日牛顿－柯特斯公式设分为等份，步长，取等分点构造出的插值型求积公式（其中）称作阶牛顿－柯特斯公式。一阶和二阶牛顿－柯特斯公式分别是梯形公式辛甫生公式四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式：第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日几种低阶求积公式的代数精度阶的牛顿－柯特斯公式至少有次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得“额外”的好处，它们分别有3次和5次代数精度。因此，在几种低阶的牛顿－柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日几种低阶求积公式的余项利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项：第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日复化求积公式第13页，共38页，星期日，2025年，2月5日复化求积公式复化梯形公式有如下形式：其余项为：第14页，共38页，星期日，2025年，2月5日在利用插值求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径。一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积公式的阶数。但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必提高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止。二是采用复