新课标高考总复习数学37第四章第8课时三角形中的中线、高线、角平分线60.pdfVIP

第8课时三角形中的中线、高线、角平分

线

考点一三角形的中线问题

[典例1](2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知△ABC的面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.

π

(1)若∠ADC＝，求tanB；

3

22

(2)若b＋c＝8，求b，c.

1

解：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝

2

13

2××1×DC×＝3，

22

解得DC＝2，

所以BD＝DC＝2，a＝4.

π2π

因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.

33

222

在△ABD中，由余弦定理，得c＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，

所以c＝7.

222

在△ADC中，由余弦定理，得b＝AD＋DC－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝

3，

所以b＝3.

c2a2b27163

＋－＋－57

在△ABC中，由余弦定理的推论，得cosB＝＝＝，

2ac××14

247

21

2

所以sinB＝1－cosB＝，

14

sinB3

所以tanB＝＝.

cosB5

(2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC．

因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，

AD2BD2c2

＋－

则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，得＝－

2AD·BD

AD2DC2b2

＋－

2AD·DC，

2222

得1＋BD－c＝－(1＋BD－b)，

22233

所以2BD＝b＋c－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.