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分数布朗运动视角下美式期权定价模型的构建与实证探究

一、引言

1.1研究背景与动机

在现代金融市场中，期权作为一种重要的金融衍生品，其定价问题一直是金融领域的核心研究课题之一。期权赋予持有者在特定日期或之前以预定价格买入或卖出标的资产的权利而非义务，这种独特的特性使得期权在风险管理、投资策略制定以及市场效率提升等方面发挥着不可或缺的作用。准确的期权定价能够帮助投资者合理评估投资机会的价值，通过定价模型计算期权的理论价格，并与市场实际价格对比，判断是否存在投资获利空间。若定价过高，投资者可选择卖出期权；定价过低，则可买入期权获取潜在收益。对于金融机构而言，期权定价是风险管理的关键工具，在进行资产配置和风险对冲时，需准确评估期权价值和风险，合理定价有助于金融机构更有效地管理市场风险，降低潜在损失。此外，期权定价有助于维持金融市场的公平和效率，合理定价确保市场交易公平性，减少信息不对称影响，促进市场健康发展。

传统的期权定价理论，如著名的布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型，大多是基于几何布朗运动的假设构建的。在布莱克-斯科尔斯模型中，假设标的资产价格服从对数正态分布，价格变化是连续的，且未来价格变动与过去价格变动无关，每一步变动幅度服从正态分布，同时还假设无风险利率恒定、无交易成本和税收、标的资产不支付股息以及市场无套利机会等。在实际金融市场中，这些假设条件往往难以完全满足。大量的实证研究表明，金融资产价格的波动呈现出许多与传统布朗运动假设不符的特征。例如，资产价格收益分布常表现出“厚尾”现象，即极端事件发生的概率高于正态分布的预测，这意味着市场中存在不可忽视的小概率重大风险事件；资产价格波动还具有长期依赖性和自相关性，过去的价格波动对未来波动存在持久影响，并非相互独立。传统布朗运动假设下的定价模型无法准确刻画这些特征，导致在实际应用中定价偏差较大，无法满足投资者和金融机构日益精确的风险管理与投资决策需求。

分数布朗运动作为一种能够更准确反映金融市场波动特征的随机过程模型，近年来在金融领域的研究中受到了广泛关注。分数布朗运动通过引入分数阶微分算子，突破了传统布朗运动的局限性，具有长记忆性和非马尔可夫性等独特性质。其长记忆性使得分数布朗运动能够捕捉到金融资产价格波动中的长期依赖关系，即过去的价格波动信息会对未来波动产生持续影响，这与实际金融市场中观察到的现象相符；非马尔可夫性则表明分数布朗运动的未来状态不仅取决于当前状态，还与过去的历史路径有关，更全面地描述了金融市场的复杂性。相较于传统布朗运动，分数布朗运动能够更细致地刻画金融资产价格的变化，为期权定价提供更贴合实际市场的理论基础。

在这样的背景下，研究分数布朗运动环境下的美式期权定价具有重要的理论和现实意义。从理论层面来看，它有助于拓展和完善期权定价理论体系，深入探讨分数布朗运动特性对期权价格的影响机制，为金融数学领域的研究提供新的视角和方法。从实践角度出发，基于分数布朗运动的美式期权定价模型能够更准确地评估美式期权的价值，为投资者和金融机构在期权交易、风险管理、投资组合优化等方面提供更可靠的决策依据，提升金融市场参与者应对复杂市场环境的能力，促进金融市场的稳定与健康发展。

1.2研究目的与创新点

本研究旨在构建一种基于分数布朗运动环境的美式期权定价模型，通过深入剖析分数布朗运动的特性及其在金融市场中的应用，结合美式期权的特点，弥补传统期权定价模型在实际应用中的不足，为金融市场参与者提供更精准、有效的期权定价工具。具体而言，期望通过该研究，能够更准确地刻画金融资产价格的波动特征，揭示分数布朗运动环境下美式期权价格的形成机制和影响因素，从而为投资者在期权交易、风险管理以及投资组合优化等方面提供可靠的决策依据，增强投资者应对复杂多变金融市场的能力。

本研究的创新点主要体现在以下几个方面：首先，运用分数布朗运动的长记忆性和非马尔可夫性特性来优化美式期权定价模型。传统的期权定价模型多基于几何布朗运动假设，无法有效捕捉金融市场中的长期依赖和历史路径依赖等现象。而分数布朗运动能够充分反映这些复杂特征，本研究将其引入美式期权定价中，有望显著提升模型对市场实际情况的拟合能力，使定价结果更加贴近真实市场价格。其次，在研究过程中，充分考虑了金融市场中的各种实际因素对期权价格的影响，如市场波动率的时变性、利率的动态变化以及交易成本等。通过综合考量这些因素，构建的定价模型将更具现实适用性，能够为投资者提供更符合实际交易环境的期权定价参考。最后，为了验证所构建模型的有效性和准确性，本研究将结合实际市场数据进行案例分析。通过对真实市场中美式期权交易数据的实证检验，不仅可以直观地展示模型在实际应用中的表现，还能够进一步深入分析模型的优势与不足，为模型的改进和完善提供