专题30 立体几何必刷31道大题（必威体育精装版好题速递）（解析版）.docxVIP

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专题30立体几何必刷31道大题

【题型01：空间中的距离问题】

1．（24-25高二上·吉林白山·月考）如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点.

??

(1)求点E到直线BF的距离

(2)求与平面所成角的正弦值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线的距离，从而得解；

（2）利用（1）中结论，求得向量与平面的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值，从而得解.

【详解】（1）因为正方体的棱长为，

以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

??

则，，，，，

所以，，

则在的投影长度为，且，

所以点E到直线BF的距离为.

（2）由（1）得，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，故，

设与平面所成角为，，

则，

所以与平面所成角的正弦值为.

2．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.

??

(1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值；

(2)求点B到平面CDE的距离；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，利用异面直线所成角的空间向量计算方法即可解答.

（2）先求出平面CDE的法向量和；再根据点到直线距离的空间向量计算方法即可求解.

【详解】（1）因为底面，，

所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

??

因为，，是棱的中点，，

则，，，，，.

则，.

所以，，.

设异面直线AE和PD所成角为，

则.

（2）因为，，，

所以，.

设平面的法向量为，

则，取，可得，，则.

又因为，

所以点B到平面CDE的距离为.

3．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如图，在长方体中，，，，求：

??

(1)点到直线的距离；

(2)平面与平面间的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，，再利用点线距的向量法，即可求解；

（2）根据条件得到平面平面，从而将面面距转化成点面距，求出平面的一个法向量及，再利用点面距的向量法，即可求解.

【详解】（1）以点为坐标原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为，，，则，，，

所以，，

所以点到直线的距离为.

??

（2）由（1）知，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，得到，

取，得到，所以，

易知，面，面，所以面，

又，面，面，所以面，

又，面，所以平面平面，

所以平面与平面间的距离即为点到平面的距离，

又点到平面的距离为，

所以平面与平面间的距离为.

4．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)若，且点到平面的距离为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)；

(3)．

【分析】（1）连结，交于点，连结，证明，再由线面平行的判定定理证明即可；

（2）以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值；

（3）由（2）可得，再由求解即可.

【详解】（1）如图，连结，交于点，连结，

因为点是的中点，底面为矩形，

所以点是的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，

，，，

则，，

设平面的法向量，

则，令，，，

所以平面的法向量，

且平面的一个法向量为，

设平面和平面的夹角为，

则，

所以平面和平面的夹角的余弦值为.

（3）由（2）可得，，，，

，，平面的法向量，

故，

设点与平面的距离为，

则，解得．

【题型02：求线面角】

5．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）过点在平面内作于，连接，推导出四边形为平行四边形，可得出，由中位线的性质得出，则，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）过点在平面内作于，连接，

在直三棱柱中，平面，平面，故，

在平面内，因为，，故，

因为为的中点，故为的中点，所以，

因为，，为的中点，所以，，

所以，，故四边形为平行四边形，所以，

由题意可知，为的中点，所以，

故为的中点，又因为为的中点，所以，故，

因为平面，平面，所以平面.

（2）由已知得，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，.

设平面的一个法向量为，则，

令，