4.1.1n次方根与分数指数幂 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

第四章

指数函数与对数函数;

章前导读

考古学中，经常是利用放射性物质的衰减检验出土文物的年限。

例如，我国的浙江杭州市余杭区良储和瓶窑镇在1936年首次发现巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝何多出高等级建筑。

考古学家利用遗址中的碳14的残留量测定，古城存

在时期为公元前3300年-前2300年。;

第四章指数函数与对数函数

4.1.1n次方根与分数指数幂;

学习

目标;

新课导入

·为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。

·初中，我们已经学习了整数指数幂

·在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c=√S记作c=,

1

像S2这样的以分数为指数的幂，其意义是什么?

下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究。;

新知探究

问题1什么是n次方根?

我们知道，如果x2=a,那么x叫做a的平方根/二次方根.

如果x3=a,那么x叫做a的立方根/三次方根.

①(±2)2=4,则称±2为4的平方根；

②23=8,则称2为8的立方根；

类似地，由于(±2)?=16,所以±2叫做16的4次方根；

由于2?=32,所以2叫做32的5次方根.

定义1:一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根.其中n1,且n∈N*.

怎样求一个数a的n次方根?:就是求一个数的n次方等于a!;

如果x2=a,那么x叫做a的平方根—→x=±a

如果x3=a,那么x叫做a的立方根x=3a如果x?=a,那么x叫做a的四次方根—→x=?

如果x?=a,那么x叫做a的五次方根—→x=?;

a;

a;

偶数次方根。

正的偶数次方根记为a

负的偶数次方根记为：Na

③a是负数时，没有偶数次方根。;

a;

新知探究

问题2方根的符号表示是?

【1】当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

这时，a的n次方根用符号“√a表示.

【2】当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.

正的n次方根用“√a表示，负的n次方根用-a表示.

两者也可以合并成±√a(a0).

【3】负数没有偶次方根.

【4】0的任何次方根都是0.记作：√5=0;

新知探究

问题3什么是根式?

定义2:式子“a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做??开方数.;

问题4(32)3,(5-2)?,(42)?分别等于什么?一般地(Na)”等于什么?

(3√2)3=2,(5√-2)?=-2,(42)?=2

根据n次方根的意义，可得(“a)”=a

问题5√an表示a的n次方根，√an=a一定成立吗?不一定

结论：a开奇次方根，则有”a=a.

(2)√32=3,√(-3)2=3(-3)2≠-3

2.(-2)?=2.4(-2)≠-2

结论：a开偶次方根，则有“a”=|a|.;

归纳小结

根式的性质

(1)当n为任意正整数时，(a)=a.

(2)当n为奇数时，则a”=a;;

例1求下列各式的值：

(1);(2)√(-10)2;(3)4√3-π)?;(4√a-b)2.;

新知探究

问题6(1)观察以下式子，你总结出什么规律呢?(a0)

3312=3(343=3?=33;

12

va==a=a;

10

a1?=5(a25=a2=a?

结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分;

新知探究

问题6(2)利用(1)的规律，你能表示下列式子吗?;

分数指数幂

规定，正数的正分数指数幂的意义是：

(a0,m、n∈N*,n1)

规定，正数的负分数指数幂的意义是：

(a0,m、n∈N*,n1);

不可以!a是根式Wa的一种写法，并不表示个a相乘

n

追问2:分数指数幂能约分吗?

不可以!如而(4)2=√-4无意义

结论：①分数指数幂是根式的另一种表示，分数指数幂与根式可以互化.

②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件.

规定了分数指数幂的意义以后，幂ax中指数x的取值范围就从整数

拓展到了有理数.

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用.;

有理数指数幂的运算性质

对于任意有理数r,s均有下面的运算性质

sE2);

例2求值。(1)8

解：(1)法

法二：

(2)法一：

法