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傅里叶级数及其性质11.1??离散傅里叶级数(DFS)定义（周期序列）一个周期为N的周期序列可表示为：但是可以用离散傅里叶级数，即用复指数的加权和表示用傅里叶级数表示，其基波频率为2p/N：用复指数表示基波：第k次谐波为：所以，第k次谐波也是周期为N的序列。不满足，ZT不存在。
将上式两边同乘以因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为为k次谐波的系数。式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；并从n=0到N-1求和，得到：
由复指数序列的正交性：所以，得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：
令n和k均为离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。故是周期为N的离散周期信号。则得到周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对由于周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。123456
DFS总结:5周期性时间信号的频谱是离散的，离散时间信号的频谱是周期性的；周期性离散时间信号的频谱为周期性离散的；2.离散周期序列既可用,也可用表示；和n为离散时间变量，理解为nT；k是离散频率变量，理解为kDw;是离散和周期性的，且周期均为N；DFS、IDFS具有唯一性.
1.2??离散傅里叶级数的性质华中科技大学电信系61.线性设周期序列和的周期都为N，且若则有2．周期序列的移位设则
证明：证明和都是以N为周期的周期函数。
3．周期卷积8设和都是周期为N的周期序列，它们的DFS系数分别为令则上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。两个周期为N的序列的卷积的离散傅里叶级数(DFS)等于它们各自DFS的乘积。
周期卷积的计算：9周期卷积中的序列和对m都是周期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的，周期卷积仅在一个周期内求和。01相乘和相加运算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓，就得到周期卷积。详见周期卷积的过程。02周期卷积满足交换律03两个周期序列的乘积的DFS为：04
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周期卷积小结:11的周期为N；01周期卷积的操作步骤与非周期序列的线性卷积相同，不同的是周期卷积仅在一个周期内求和；01周期卷积中对m是周期性的，周期为N；周期卷积满足交换律。01
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