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第八节函数的连续性一.连续函数的概念1.改变量初值终值记作:注1.改变量可正可负.2.
2.连续定义(1)设函数在点的某邻域内有定义,自变量的改变量如果时,函数的改变量趋于也趋于即,则称在点连续.注在点函数连续的几何意义.
在处连续.因故所以在证处连续.例2证明在处连续.例1证明
例3证明在内任一点连续.证在内任取一点因所以故在内任一点连续.
讨论函数连续的另一定义形式
定义(2)设函数在点的某邻域内有定义,如果则称在点连续.注精确性定义:设函数在点的某邻域内有定义,如果对不论多么小,总存在当时,恒有则称在点连续.
连续条件:有定义有极限值相等.有定义、有极限都是连续的必要条件.如果则称在点右连续.则称在点左连续.关系连续的充要条件为左连续且右连续.
区间连续:如果函数在开区间内每一点都连续,则称在开区间内连续.如果函数在开区间内连续,并且在左端点右连续,在右端点左连续,则称在闭区间上连续.注几何意义两定义分工:定义(1)一般用于证明题.定义(2)一般用于具体题判断.
讨论函数例4处的连续性.解所以故函数连续.因又从而在
在分界点连续例5求的值,使函数解依题意得故
二.函数的间断点(不连续点)有下列三种情况之一,函数在点的间断点.则就是没定义没极限值不等.或或间断点第一类第二类可去跳跃无穷其它按左右极限情况:
例6讨论下列函数的间断点及其类型在在在在因不存在所以间断.解因不存在所以间断.解因不存在所以间断.解解因所以间断.不存在
例6讨论下列函数的间断点及其类型解因解解解所以为可去间断点.因所以为跳跃间断点.所以为无穷间断点.因不存在所以为其它间断点.在在在在
关于可去间断点的附加说明在是可去间断点.因而却不存在,所以间断.如果将改成则在连续.但事实上是在连续.数学上可以通过讨论解决的问题.
补充定义的方法:先求极限值,极限值是几,就将函数值改成几.例7给补充一个什么数值,能使在点连续.解补充
三.连续函数的性质如果和在点连续,则(1)在点连续;(2)在点连续;(3)当时,在点连续.如果函数在点连续,在点连续,并且则复合函数在点连续.定理2.20定理2.21
如果函数在点连续,且有反函数则在点连续.重要结论一切初等函数在其定义区间内连续.注在定义域内不连续.定理2.22
问题:(1)初等函数求连续区间?(2)初等函数求间断点?(3)分段函数求间断点?求极限:(1)已知在点连续,则例8求解原式
极限符号与函数符号互换条件:外函数在内函数的极限点处连续.
例9求解令则原式
总结本节题型,一般做法.
作业题2.习题二(A)29、30、31、32、33、34.1.熟记连续两个定义及各种题型的做法.
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