专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（练习）(有解析）.docxVIP

专题06函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：唯一零点求值问题 2

题型二：不动点与稳定点 3

题型三：运用反函数思想妙解压轴题 5

题型四：倍值函数 7

题型五：最值函数 9

题型六：嵌套函数 12

题型七：共零点问题 15

题型八：双参数比值型问题 16

题型九：指数函数与对数函数的交点 18

题型十：曼哈顿距离问题 21

题型十一：平口单峰函数 24

题型十二：三次函数 26

题型十三：指对同构 27

题型十四：切线放缩与夹逼 29

题型十五：整数解问题 30

题型十六：导数中的“最短距离”问题 33

题型十七：等高线问题 35

重难点突破：多变量问题 38

02重难创新练 41

题型一：唯一零点求值问题

1．已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】因为，设，则

，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.

2．已知函数有唯一零点，则的值为（???）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以

所以，故函数关于直线对称，

故由函数存在唯一零点得零点只在处取得即，

所以，解得.

故选：A.

3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知条件可知

由函数奇偶性易知

令，为偶函数.

当时，，

单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点

图象右移一个单位，所以仅在处有极小值，

则函数只有一个零点，即，

解得，

故选：A

题型二：不动点与稳定点

4．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是.

【答案】

【解析】因为在曲线上，，∴.

由于在定义域内是增函数，

所以若，则，与矛盾，

若，则，与矛盾，所以，

则问题转化为在内有解，即方程在内有解，

得方程在内有解，令，

则，∴时，，

即在上单调递增，所以.

故答案为：

5．已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为.

【答案】

【解析】结合函数的解析式：可得：，

令y′=0，解得：x=0，

当x0时，y′0，当x0，y′0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，

则当x=0时，取最大值，最大值为e，

∴y0的取值范围（0，e]，

结合函数的解析式：可得：，

x∈（0，e），，

则f（x）在（0，e）单调递增，

下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=cy0，则f（f（y0））=f（c）f（y0）=cy0，不满足f（f（y0））=y0．

同理假设f（y0）=cy0，则不满足f（f（y0））=y0．

综上可得：f（y0）=y0．

令函数．

设，求导，

当x∈（0，e），g′（x）0，

g（x）在（0，e）单调递增，

当x=e时取最大值，最大值为，

当x→0时，a→-∞，

∴a的取值范围.

6．（2024·河南·二模）已知函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是．

【答案】

【解析】若曲线上存在点，故，

设，则，即都在图象上，不难发现该两点关于对称，故有解

有解，

令，，即在上单调递增，所以

故答案为：

题型三：运用反函数思想妙解压轴题

7．若满足满足则等于．

【答案】

【解析】由题意，故有

故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.

根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，

故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.

即点和点构成的线段的中点在直线上，

即，解得，

故答案为：.

8．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则．

【答案】3

【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是.

因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以.

又，所以.

所以.

故答案为：3

9．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为.

【答案】/

【解析】由，得：，.

所以与互为反函数．

则它们的图象关于对称．

要使的距离最小，则线段垂直直线.

点在曲线上，点Q在曲线上，

设，.

又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．

以Q点为例，Q点到直线的最短距离

所以当，即时，d取得最小值，

则的最小值等于.

故答案为：

题型四：倍值函数

10．已知是定义在实数集R上的奇函数，a为非正的常数，且当时，