2026数学高考一轮总复习专题讲义12三角函数的性质及应用（全国）（人教版2019）.docx

2026数学高考一轮总复习专题讲义12：三角函数的性质及应用

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目录

TOC\o13\h\u【链接高考】 1

【考向分析】 3

考向三：三角函数的性质及其应用综合（含新定义） 5

【高考解题速通】 10

【链接高考】

【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.

2．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（????）．

【答案】A

【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.

故选：A.

【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

【考向分析】

(Ⅰ)求f（x）的最小正周期；

【总结升华】本题的关键之处是正确写出函数图象平移后的解析式.

考向三：三角函数的性质及其应用综合（含新定义）

经检验，其他范围不是单调递增区间，

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

【点睛】1.在解决三角函数的性质的相关问题时，应先将函数化成基本型；

3．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.

【答案】该扇形的半径的长约为445米.

【详解】[解法一]设该扇形的半径为米，连接.……2分

答：该扇形的半径的长约为445米.……13分

答：该扇形的半径的长约为445米.……13分

【高考解题速通】

（Ⅰ）求；

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小

【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题

就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，

考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．

【答案】（Ⅰ）的最小值为，此时x的集合（Ⅱ）见解析

【详解】（1）

当时，，此时

所以，的最小值为，此时x的集合.

横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；

然后向左平移个单位，得

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.

【详解】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象可得A＝2,

又0＜φ＜π,

由2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ,k∈Z,

所以函数g（x）的单调减区间为[kπ,kπ],k∈Z.

所以0＜2C＜π,

所以a+b＝3.

【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,余弦函数的图象和性质以及正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和函数思想,属于中档题.

【详解】(1)将三角函数解析式化简可得

因为A为三角形的一个内角

【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正弦函数单调区间的求法,三角形面积的求法,属于基础题.

【详解】（1）根据正弦二倍角公式，结合辅助角公式化简可得

∵A为三角形内角

【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值，二倍角公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，向量数量积的运算，属于中档题．

（2）解：取边的中点，连接，

【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，根据三角函数的最值情况来求得原表达式的最值，从而判断三角形形状；利用余弦定理解得三角形各边长.

9．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N