代数特征值问题课件.pptxVIP

代数特征值问题武汉大学数学与统计学院向华

有哪些信誉好的足球投注网站引擎G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”

London,England:Millennium(Wobbly)Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequenciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)0102

主成分分析(PCA)PCA的目的：寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间.PCA的求解：对样本的散布矩阵进行特征值分解,所求子空间为过样本均值,以最大特征值所对应的特征向量为方向的子空间.Principalcomponent

定义:设A是n阶矩阵,如果数和n维列向量,使得则称是A的特征值,非零向量x称为其对应的特征向量.01比如:02投影矩阵03

如何求解?即求解特征方程设为方阵A的一个特征值,则由方程求出非零解,就是对应于的特征向量.

例:给定,求其特征值和特征向量.特征值特征向量

假设01对应的特征向量求按模最大的特征值和对应的特征向量．思考：如果恰好在x1分量上a1=0？02乘幂法的基本思想

当｜λ1＜１或｜λ1｜＞１，产生下溢或上溢.作规格化：迭代格式可视为关于特征值的近似特征向量当阶数很高，无法使用其他方法时，乘幂法几乎是唯一的选择．基本思想可以导出一些更有效的算法（如反幂法，子空间迭代法），是其他方法的基础．收敛速度取决于|λ２/λ１|的大小

定理:设对称阵,,X＝［x1,…,xn]是正交阵且.向量qk由幂法产生且定义,则例１．(1)比较α=30和α=-30时的迭代次数，注意两种情景下|λ2/λ1|的大小．Hint:Note:

(2)取α=16,此时研究初始向量为q0=(2,-2,3,-3)T时的收敛行为.结论：不用担心初始向量q0在x1方向上分量为０．因为迭代过程舍入误差通常能保证迭代序列在此方向上有分量．

logo例２．Demography(Lotka,1920;Leslie,1940s)在时刻t处于年龄段i的个体数第i年龄段的存活率第i年龄段的出生率

Ageinterval(months)x(0)misi0-3600.23-6120.50.46-980.80.89-1240.3-

Google矩阵对某一网页:所有指向P的网页Q指向外的链接数对n个页面若链接到其他PageRank向量修正

推广一（inversepowermethod)：求模最小的特征值推广二（powermethodwithshift)：下一个迭代向量在相应的特征方向上的成分就非常多．H.Wielandt,1944;J.Wilkinson,1957.坏条件的线性方程组不精确反迭代

如何估计位移(Gershgorincircles)：例如,A=[30,1,2,3;4,15,-4,-2;-1,0,3,5;-3,5,0,-1];

推广四（Subspaceiteration,Orthogonaliteration,Simultaneousiteration)：一步反迭代推广三（RayleighQuotientIteration)：每次求解不同的方程组．Rayleigh商

(4)据,知收缩技巧(deflation):已知λ1和x1:Ax1=λ1x1,记A1=A1.Hotelling(1933):2.用相似变换:(2)求B2对应的λ2和y2(3)求A2对应的特征向量z2≡(α,y2T)T(1)求H1,s.t.H1x1=te1

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