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概率论与数理统计

知识点框架

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教学内容

第一章随机事件及其概率

第二章随机变量及其分布

第三章随机变量的数字特征

第四章大数定律与中心极限定理

第一章随机事件及其概率

随机事件

概率

1.事件的概念及种类

2.事件发生的含义

3.事件的关系4.事件的运算5.运算的性质

1.事件的独立性

事件的独立性与伯努利概型

条件概率与全概公式

2.伯努利概型

1.概率的古典定义

2.概率的公理化定义

3.概率的性质

1.条件概率2.乘法公式

3.全概公式4.逆概公式（贝叶斯公式）

例：某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%、20%、30%和35%，已知这四个车间的次品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01．现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？

例：第一个箱中有10个球，其中8个事白球；第二个箱中有20个球，其中4个是白的.现从每个箱中任取一球，然后从这两球中任取一球，取到白球的概率是多少？

例设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10及2/5.如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为1/4，1/3，1/12.已知此人迟到，试推断他是怎样来的？

1.随机变量的概念

2.分布函数概念及其性质

第二章随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布

连续性随机变量及其分布

随机变量与

分布函数

离散型随机变量的分布

二维随机变量

几种常见的离散型随机变量分布

联合分布与边缘分布

随机变量的独立性

随机变量函数的分布

概率密度概念及其性质

几种常见的连续型随机变量的分布

一维随机变量函数的分布

二维随机变量函数的分布（离散型）

例：设随机变量X的分布列如下表所示：

求:(1)常数a;

P(X1),P(-2X≤0),P(X≥2).

X

-2

-1

0

1

2

P(X=xk)

a

3a

1/8

a

2a

袋中有两只白球三只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布列为

例

Y的边缘分布列

X的边缘分布列

所以X和Y的边缘分布列分别为

解

例

例设(X,Y)的联合分布律为

且X与Y相互独立，试求和.

又由分布列的性质,有

解

由X与Y相互独立，知

例设(X,Y)的联合密度函数为

解

问X与Y是否相互独立？

X,Y的边缘密度分别为

所以X,Y不相互独立.

x

y

0

1

1

设(X,Y)的联合密度函数为

问（1)试求常数c;

讨论X与Y是否相互独立？

例

例:

17

对一圆片直径X进行测量，其值在[5,6]上服从均匀分布，

01

求圆片面积Y的概率密度.

02

18

第三章随机变量的数字特征

方差

几种常见分布的数学期望与方差

数学期望

1.方差的定义2.方差的计算

1.离散型随机变量的数学期望

2.连续型随机变量的数学期望

3.随机变量函数的数学期望4.数学期望的性质

离散型：0-1分布、二项分布、泊松分布

协方差与相关系数

4.标准化随机变量

3.方差的性质

1.协方差概念及其性质

3.相关系数取值的解释及不相关与相互独立的关系

2.相关系数

连续型：均匀分布、指数分布、正态分布

例

解：

例

4

例设随机变量X的概率分布如下：

3

1

2

0

1

1

P

2

解

X

设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：

X

0

1

2

0.5

P

3

0.3

0.1

0.1

例

解

Y

0

1

2

0.6

P

3

0.1

0.2

0.1

问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。

均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.

X

0

1

2

0.5

P

3

0.3

0.1

0.1

Y

0

1

2

0.6

P

3

0.1

0.2

0.1

均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.

由于D(X)D(Y)，因此，机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.

例

例

解

先求出边缘分布，

设(X,Y)的联合分布律为

试计算随机变量X与Y的相关系数.

例

第四章大数定律与中心极限定理

01

大树定律

02

中心极限定理

03

切比雪夫不等式

04

独立