高考一轮复习备考资料之数学讲义第三章导数及其应用3.1.doc

考试内容

等级要求

导数的概念

A

导数的几何意义

B

导数的运算

B

利用导数研究函数的单调性与极值

B

导数在实际问题中的应用

B

§3.1导数的概念及运算

考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为eq\f(Δy,Δx).

(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f(x)＝C(C为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α为常数)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cosx

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sinx

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a0，a≠1)

f′(x)＝axlna

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

f(x)＝logax(a0，a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq\f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,g2?x?)(g(x)≠0)．

知识拓展

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)

(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)

题组二教材改编

2．[P26习题T2]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝.

答案2e

解析∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.

3．[P24练习T3]曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为．

答案2x－y＋1＝0

解析∵y′＝eq\f(2,?x＋2?2)，∴y′|x＝－1＝2.

故所求切线方程为2x－y＋1＝0.

题组三易错自纠

4．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝.

答案－1

解析函数y＝kx＋lnx的导函数为y′＝k＋eq\f(1,x)，由导数y′|x＝1＝k＋1＝0，得k＝－1.

5．有一机器人的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为．

答案eq\f(13,4)

6．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝.

答案－eq\r(2)

解析因为f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，

所以f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))cosx－sinx，

所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝f′eq\b\l