2025秋 名师金典新课标高考总复习 数学 课件 10　第二章　第4课时　函数的对称性.pptx

;;[考试要求]1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．;;2．函数的轴对称和中心对称

(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)?f(2a－x)＝f(x)．

(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点______对称．;3．两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于______对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于______对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于______对称．;一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()

(2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．()

(3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称．()

(4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．();二、教材经典衍生

1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于()

A．x轴对称 B．y轴对称

C．原点对称 D．直线y＝x对称

C[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，

所以函数的图象关于原点对称．故选C．];A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称;3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是();4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1.

(1)若f(x)在[－6,6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；

(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)的对称中心为点_______.;(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0,0)，所以函数f(x)的对称中心为点(0,1)．

法二：因为g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上为奇函数，;;(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()

A．f(x)的图象关于直线x＝2对称

B．f(x)的图象关于点(2,0)对称

C．f(x)的周期为4

D．y＝f(x＋4)为偶函数;(1)B(2)ACD[(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)的对称轴为y轴，

又函数y＝f(x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f(x)，

所以函数y＝f(x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，所以由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，

解得x＜0或x＞2.故选B.;(2)因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；

因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，

所以f(－x)＝f(x＋4)，

又f(－x)＝f(x)，

所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故C正确；

因为f(x)的周期为4且为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．];轴对称的几种表述形式

(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；;[跟进训练]

1．(1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝()

A．29 B．11

C．3 D．5

(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝________.

(1)B(2)1[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，

所以a＝4，f(6)＝3|6－4|＋2＝11.故选B.;(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，

因为g(1＋x)－g(1－x)

＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1＋x－1＋e－1－x＋1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1－x－1＋e－1＋x＋1)

＝x2－1＋a(ex＋e－