10.1 随机事件与概率（解析版）.docx

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10.1随机事件与概率

10.1随机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件

例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.

解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为正面朝上，反面朝上.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间.

例2抛掷一枚骰子（tóuzi），观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

解：用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为.

例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用表示.于是，试验的样本空间

（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.

如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为.

如图10.1-1所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.

例4如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示下列事件：

“恰好两个元件正常”；

“电路是通路”；

“电路是断路”.

解：（1）分别用，和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间

.

如图10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.

（2）“恰好两个元件正常”等价于，且，，中恰有两个为1，所以

.

“电路是通路”等价于，，且，中至少有一个是1，所以

.

同理，“电路是断路”等价于，，或，.所以

.

练习

1．写出下列各随机试验的样本空间：

（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；

（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；

（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

（5）射击靶3次，观察中靶的次数.

2．如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.

（1）写出试验的样本空间；

（2）对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；

（3）对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.

3．袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”

10.1.2事件的关系与运算

例5如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“甲元件正常”，“乙元件正常”.

（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；

（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；

（3）用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系.

分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组表示样本点.这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.

解：（1）用，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为.

（2）根据题意，可得

，，

，.

（3），；表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件.

例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”.

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？

（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？

解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间

，

事件“第一次摸到红球”，即或2，于是

；

事件“第二次摸到红球”，即或2，于是

.

同理，有

，

，

，

.

（2）因为，所以事件包含事件R；

因为，所以事件R与事件G互斥；