6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学生版）.docx

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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第六章计数原理

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1．

表6.1-1

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

分析：要完成的事情是“选一个专业”因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．

解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数

．

例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步：选女生．

解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数

．

例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？

（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？

分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成．

解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数

．

（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数

．

练习

1．填空题

（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；

（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是________．

2．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为．这种算法有什么问题？

2．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？

3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．

（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？

分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”；可以分步完成．

解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法：第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理．不同挂法的种数

．

6种挂法如图6.1-2所示．

图6.1-2

例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1-9，最多可以给多少个程序模块命名？

分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．

解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为

．

后两个字符从1～9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9．

由分步乘法计数原理，不同名称的个数是

，

即最多可以给1053个程序模块命名．

例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进