5.7 三角函数的应用（学生版）.docx

5．7三角函数的应用

第五章三角函数

5．7三角函数的应用

例1如图5.7-3，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.

（1）求这一天6~14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式.

解：（1）由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20℃.

（2）由图5.7-3可以看出，从6~14时的图象是函数

①

的半个周期的图象，所以

，.

因为，所以.

将，，，，代入①式，可得.

综上，所求解析式为，.

一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.

例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报.

表5.7-2

（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？

分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如的函数来刻画，其中x是时间，y是水深.根据数据可以确定A，，，h的值.

解：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图5.7-4）.根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：

，，，；

由，得.

所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述.

由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：

表5.7-3

（2）货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港.令

，

.

由计算器可得

如图5.7-5，在区间内，函数的图象与直线有两个交点A，B，因此

，或.

解得，.

由函数的周期性易得：

，

.

因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.

（3）设在h时货船的安全水深为m，那么（）.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点（图5.7-6）.

借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.

练习

1．某简谐运动的图象如图所示,试根据图象回答下列问题:

（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？

（2）写出这个简谐运动的函数解析式.

2．如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)的函数关系是,.

（1）当时,求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；

（2）已知,要使沙漏摆动的周期是,线的长度应当是多少(精确到)?

3．一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式.

练习

4．下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将移至何处?

5．自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11．5天、14天、16．5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界目的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力．

习题5．7

综合运用

5．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.如图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图，此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？

6．