多元函数微分应用.pptxVIP

第一节微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线三、小结

一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程

(1)式中的三个函数均可导.割线的方向向量为:或者对应于考察割线趋近于极限位置——切线的过程割线的方程为:

曲线在M处的切线的方向向量为切线方程为法平面：过M点且与切线垂直的平面.

例1求曲线在(1,1,1)点处的切线及法平面方程。解故切线方程为法平面方程

切线方程解例2

给出参数值求出对应的点；给出点的坐标求出对应的参数。求切向量；写出切线及法平面方程。给出曲线的参数方程求切线及法平面方程的步骤：法平面方程

法平面方程为空间曲线方程为特殊地：

法平面方程为空间曲线方程为切线方程为

所求切线方程为法平面方程为

二、曲面的切平面与法线设曲面方程为曲线在M0处的切向量在曲面上任取一条通过点M0的曲线

切平面方程为则令则两边关于求导数并取得

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.法线方程为曲面在M0处的法向量即殊地：空间曲面方程为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令

切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M0处的切平面方程为

其中

切平面方程为解法线方程为

法线方程解令切平面方程

解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得

因为是曲面上的切点，所求切点为满足曲面方程切平面方程(1)切平面方程(2)所以

空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结

思考题

思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程

练习题

练习题答案