7.3 复数的三角表示（学生版）.docx

答案第=page11页，共=sectionpages22页

7.3复数的三角表示

7.3复数的三角表示

7.3.1复数的三角表示式

例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

（1）；

（2）.

分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

解：（1）复数对应的向量如图7.3-2所示，则

，.

因为与对应的点在第一象限，所以.

于是.

（2）复数对应的向量如图7.3-3所示，则

，.

因为与对应的点在第四象限，所以.

于是.

当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.

例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

（1）；

（2）.

解：（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图7.3-4所示.所以

.

（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图7.3-5所示.所以

.

练习

1．把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：

（1）4；

（2）；

（3）；

（4）.

2．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

3．把下列复数表示成代数形式：

（1）；

（2）.

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

例3：已知，，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释解.

解：

.

首先作与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量（图7.3-7）.即为积所对应的向量.

例4：如图7.3-8，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到求向量对应的复数（用代数形式表示）.

分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°.

解：向量对应的复数为

.

例5：计算，并把结果化为代数形式.

解：原式

.

练习

4．计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

5．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

6．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．

习题7.3

复习巩固

7．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

（1）6；???????（2）1+i；????（3）；??????（4）；

8．把下列复数表示成代数形式：

（1）；

（2）；

（3）

（4）.

9．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

10．计算下列各式，并作出几何解释：

（1）

（2）

（3）

（4）.

综合运用

11．（1）求证；

（2）写出下列复数z的倒数的模与辐角；

.

12．求证：

(1)

(2)

13．化简：

（1）；

（2）.

14．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）

拓广探索

15．如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标.

16．如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．

变式练习题

17．求复数，，，的辐角主值．

18．把下面的复数表示成三角形式：

(1)；

(2)．

19．求复数的模与辐角．