7.3 离散型随机变量的数字特征（解析版）.docx

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7.3离散型随机变量的数字特征

第七章随机变量及其分布

7.3离散型随机变量的数字特征

7.3.1离散型随机变量的均值

例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？

分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．

解：因为，，

所以．

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8．

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么．

例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．

分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．

解：X的分布列为，，2，3，4，5．6．

因此，．

例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．

表7.3-3

规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．

分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，C全部猜对．获得6000元基金，因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列．

解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．

，

，

，

．

X的分布列如表7.3-4所示．

表7.3-4

X的均值为

．

例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

方案1运走设备，搬运费为3800元；

方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；

方案3不采取措施．

工地的领导该如何决策呢？

分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示．

7.3-5

方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．

解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．

采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，．

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，

，．

采用方案3，

，，．

于是，，

，

．

因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．

练习

1．已知随机变量X的分布列为：

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.3

0.4

0.1

0.1

（1）求；

（2）求．

2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值．

3．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为：

甲机床次品数的分布列

0

1

2

3

P

0.4

0.3

0.2

0.1

乙机床次品数的分布列

0

1

2

P

0.3

0.5

0.2

哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？

7.3.2离散型随机变量的方差

例5抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差．

解：随机变量X的分布列为，，3，4，5，6．

因为，，

所以．

例6投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．

表7.3-9股票A收益的分布列

表7.3-10股票B收益的分布列

（1）投资哪种股票的期望收益大？

（2）投资哪种股票的风险较高？

分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．

解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为

，

．

因为，所以投资股票A的期望收益较大．

（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为

，

．

因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高．

练习

4．已知随机变量X的分布列为：

X

1

2

3

4

P

0.2

0.3

0.4

0.1

求和．

5．若随机变量X满足，其中c为常数，求．

6．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差（精确到1cm）X和Y的分布列如下：

甲班的目测误差分布列

X

0

1

2

P

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

乙班的目测误差分布列

Y

0

1

2

P

0.05

0.15

0.6

0.15

0.05