矩阵的运算与初等变换第三讲.ppt

第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日教学目的：通过本节的教学使学生了解矩阵十分重要的运算——矩阵的初等变换、初等方阵的概念，掌握初等变换的方法.教学要求：理解初等变换、初等方阵的概念，熟练掌握初等变换的运算，会用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形矩阵.教学重点：矩阵初等变换和初等方阵，用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、行阶梯形矩阵.教学难点：用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形矩阵的方法.矩阵初等变换和初等方阵的关系.教学时间：2学时.机动目录上页下页返回结束第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日§5矩阵的初等变换5.1引例求解线性方程组(1)①②③④第一章机动目录上页下页返回结束第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日(1)÷123(2)(2)(3)321314－+－2++－3①②③④①②③④2机动目录上页下页返回结束第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日(3)2×1/23+524－32(4)(4)34－23+4（5）①②③④①②③④机动目录上页下页返回结束第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日于是得其中x3可任意取值，或令x3=c这里c为任意常数.则方程组的解可记为：x=x=即第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日把上面方法加以数学抽象B=（Ab)=称为方程组（1）的增广矩阵.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.机动目录上页下页返回结束第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日5.2矩阵的初等变换定义5.1下面三种变换称为矩阵的初等变换:(3)换法变换:交换矩阵的两行(列).(1)倍法变换:用一个数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;(2)消法变换:用一个数乘矩阵的某行(列)所有元素后加到另一行(列)对应的元素上去;※矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换.机动目录上页下页返回结束第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:※矩阵之间的等价关系具有下列性质：※两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价.(3)换法变换的逆变换就是其本身.(1)倍法变换的逆变换为;(2)消法变换的逆变换为;※如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作AB.（1）反身性AA;（2）对称性若AB，则BA；（3）传递性若AB，BC，则AC.第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日定理5.1设A为m×n矩阵，则A必可经过有限次初等变换化为如下形式其中G称为矩阵A在初等变换下的标准形.简称为A的标准形矩阵.……第r行.（6）机动目录上页下页返回结束第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日证明若A为零矩阵，则定理显然成立，此时r=0.否则，必可经过行、列的换法变换使第1行、第1列元素d不为零.以乘第1行，化（1，1）元为1，在经过适当的行、列消法变换，将矩阵化为如下形式如果bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)全为零，则B便是形如（6）式的矩阵（r=1）了.如若不然，在B的第2~m行，第2~n列中进行上述初等变换，即先使B的（2，2）元非零，化为1，在用适当的消法变换，将矩阵的第2行和第2列的其余非零第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日元素都化