海南省海南中学2024−2025学年高三第八次月考 数学试题（含解析）.docx

海南省海南中学2024?2025学年高三第八次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则实数（???）

A．1 B． C． D．

3．若复数满足，则（???）

A． B． C． D．

4．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（???）

A．120种 B．150种 C．180种 D．300种

6．已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（????）

A．8 B．5 C．3 D．2

7．记为数列的前项和，若为等比数列，则（???）

A．64 B．32 C．16 D．8

8．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（???）

A．-e B．-1 C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．已知一组数据为，则它的第70百分位数为7

B．若一组数据的方差为0，则所有数据都相同

C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（参考公式：）

D．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则

10．设等差数列的前项和为，若，且当或6时，取得最大值，则（????）

A．的公差为2

B．

C．数列的前10项和为50

D．当时，与数列共有671项互为相反数

11．由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（）

A．的图象关于直线对称 B．在区间上先增后减

C．的值域为 D．在区间上有11个零点

三、填空题

12．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为.

13．已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为.

14．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为．

四、解答题

15．已知的内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

16．已知，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点．

（1）求点轨迹的方程；

（2）若过点的直线交轨迹于，两点，求面积的最大值．

17．如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，平面.

（1）证明：平面平面；

（2）当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

18．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.

（1）已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值.

（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为

①设，证明：；

②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率.

附：若随机变量服从正态分布，则.

19．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：.

参考答案

1．【答案】B

【详解】由题意得，，所以．

故选B.

2．【答案】C

【详解】由题意得，，

因为，所以，

解得，

故选:C.

3．【答案】D

【详解】设，

则，

则．

故选D.

4．【答案】A

【详解】对于A项，若，则或．

对于B，C，D项，显然成立，

故选:A.

5．【答案】B

【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．

当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；

当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，

所以不同的安排方法有种．

故选:B.

6．【答案】B

【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上.

根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号.

又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5.

故选B

7．【答案】A

【详解】为等比数列，的首项为，第二项为，

第三项为，

的公比为当时，，

显然当时也符合，

．

故选A.

8．【