概率王2-2 精英教育阶段.ppt

一、离散型随机变量函数的分布律例1设随机变量X的分布律为X －10123 pk1/51/101/103/103/10求(1)Y=X－1(2)Y=－2X(3)Y=X2分布律。X -10123pk 1/51/101/103/103/10X-1 -2-1012-2X 20-2-4-6X210149解：3/10二、连续型随机变量函数的概率密度对于连续型随机变量，需要由随机变量X的概率密度去求随机变量Y=g(X)的概率密度.解决这类问题的一般方法是：-----分布函数法第二步：利用连续型随机变量分布函数与概率密度的关系，求导数即可得到所求概率密度.第一步：求出Y的分布函数的表达式，例2设随机变量X具有概率密度解先求Y=2X+8的分布函数求Y=2X+8的概率密度.于是，得Y=2X+8的概率密度为特别若，则例3设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.解先求Y的分布函数.因为故当y?0时，当y0时，于是，得Y的概率密度为例如,设X~N(0,1),其概率密度为则Y=X2的概率密度为注:(1)此时称Y服从自由度为1的分布;(2)若Y=g(X)中的g(.)是严格单调函数时,可由下面定理求出Y的概率密度.定理设随机变量X具有概率密度fX(x),又设函数g(x)处处可导且有g?(x)0(或恒有g?(x)0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数.注:(1)若g(x)不是单调函数不能用此定理.(2)若f(x)在有限区间[a,b]以外等于零，则只需假设在[a,b]上恒有g?(x)0(或恒有g?(x)0),此时例4设电压V=Asin?,其中A是一个已知的正常数,相角?是一个随机变量,在区间(-?/2,?/2)服从均匀分布,试求电压V的概率密度.由于,其反函数由定理得V=Asin?的概率密度为解:?的概率密度为

设随机变量.试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布.解:X的概率函数为

现在y=g(x)=ax+b,由这一式子解得,且有由定理得Y=aX+b的概率密度为

练习题（正态分布）即即有注:(1)正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布.则(2)若解:2.某厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额做出规定.据以往纪录，工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求工人每月需完成多少件产品才能获奖？记工人每月装配产品数为X~N(4000,3600).设需完成件n件产品才能获奖,则依题意，有P{Xn}=10%,即90%=P{X?n}=查表得解得故每月需完成4077件以上才能获奖.*对于非离散型随机变量，由于它的可能取值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样用分布律来描述它；另外,非离散型随机变量取指定实数值的概率通常等于零