近世代数的-知识点复习.docVIP

附录A有限域有关性质的证明

近世代数知识点

3．1集合、映射、二元运算和整数

3．1．1集合

常用的集合及记号有：

整数集合；

非零整数集合；

正整数（自然数）集合；

有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

一个集合A的元素个数用表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用表示A是无限集，表示A是有限集。

3．1．2映射

映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，记作y=f(x)。

y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f的定值域。

定义2设f是A到B的一个映射

若和均有，则称f是一个单射。

若均有使，则称f是满射。

若f既是单射又是满射，则称f是双射。

3．1．3二元运算

3．1．3．1集合的笛卡儿积

由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3设A，B是两个非空集合，由A的一个元素和B的一个元素可构成一个有序的元素对（a,b），所有这样的元素对构成的集合，称为A与B的笛卡儿积，记作，即。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4设S是一个非空集合，若有一个对应规则f，对S中每一对元素和都规定了一个唯一的元素与之对应，即f是的一个映射，则此对应规则就称为S中的一个二元运算，并表示为，其中“”表示运算符，若运算“”是通常的加法或乘法，就分别记作或。

由定义可见，一个二元运算必须满足：

封闭性：；

唯一性：是唯一确定的。

定义5设S是一个非空集合，若在S中定义了一种运算（或若干种运算+，，等），则称S是一个代数系统，记作（S，）或（S，+，）等。

3．1．3．2二元关系

我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。

定义6设A，B是两个集合，若规定一种规则R：使对和对均可确定和是否适合这个规则，若适合这个规则，就说和有二元关系R，记作，否则就说和没有二元关系R，记作。

3．1．2．3等价关系和等价类

等价关系是集合中一类重要的二元关系。

定义7设～是集合A上的一个二元关系，满足以下条件：

对，有～；（反身性）

对，有～～；（对称性）

对，有～和～～。（传递性）

则称～为A中的一个等价关系。子集即所有与等价的元素的集合，称为所在的一个等价类，称为这个等价类的代表元。

例如：设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系如下：

，

这个二元关系称为模的同余（关系），与模同余指和分别用来除所得的余数相同。

同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作称为一个同余类或剩余类。

3．1．4整数

在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。

3．1．4．1整数的运算

整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理：

带余除法定理设，，则存在唯一的整数，满足：

。

当时，称能被整除，或整除，记作；当时，称不能被整除。

只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理每一个不等于1的正整数可以分解为素数的幂之积：

，

其中为互不相同的素数，。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式称为整数的标准分解式。

3．1．4．2最大公因子和最小公倍数

设，不全为0，它们的正最大公因子记作，正最小公倍数记作。

设，由算术基本定理可将它们表示为：

，

，

其中为互不相同的素数，，为非负整数，某些可以等于0。令：

，

，

则

，

，

且有

。

最大公因子还有以下重要性质：

最大公因子定理设，不全为0，，则存在使

。

3．1．4．3互素

若，满足，则称与互素。关于整数间的互素关系有以下性质：

(1)，使。

(2)且。

(3)设，为素数，则有：或。

(4)，。

(5)，且。

(6)欧拉函数：设n为正整数，为小于n并与n互素的正整数的个数，

小于n并与n互素的正整数的集合记为：。

若n的标准分解式为：

，

则

。

3．2群

近世代数的研究对象是代数系，最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。

3．2．1群的基本概念

定义1设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足：

(1)结合律：对，有。则称G是一个半群，记作。若还满足：

(2)存在单位元使对，有；

(3)对有逆元，使，则称是一个群。

当二元运算“”为通常的加法时，称为加法