二次函数解决实际问题(可用).docVIP

利用二次函数解决实际问题

类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）

1、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

(1)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

(2)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

2、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？

3、如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过几秒，四边形的面积最小，最小面积为多少？

☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？

2、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩。预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？

3．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（总成本＝进价×销售量）

4、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品

每件售价

(万元)

每件成本

(万元)

每年其他

费用(万元)

每年最大产

销量(件)

甲

6

a

20

200

乙

20

10

40＋0.05x2

80

其中a为常数，且3≤a≤5.

(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

☆类型三、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题（车船通行问题）

1、一座抛物线拱桥梁在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m,当水位上升1m时，水面宽为多少？(精确到0.1m)。一艘装满防汛器材的船在此河流中行，露出水面得高为0.5m、宽为4m，当水位上升1m时这艘船能从桥下通过吗?

2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．

（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？

（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？

3、如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，隧道宽AA1为16m.

(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．

(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．