第07讲241圆的标准方程(6类热点题型讲练）（原卷版）.docx

第07讲2.4.1圆的标准方程

课程标准

学习目标

①理解圆的定义及确定圆的几何要素。

②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。

③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。

通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.

知识点01：圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为：

知识点02：圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，

圆的半径为，

因此，圆的标准方程为.

故选：A.

知识点03：点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

（1）几何法（优先推荐）

设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

（2）代数法

将点带入：方程内

①点在外

②点在上

③点在内

【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？

【答案】答案见解析

【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．

把点的坐标代入方程的左边,

得,左右两边相等,

点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．

把点的坐标代入方程的左边,

得,左右两边不相等,

点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．

又因为点到圆心A的距离．

故点在圆内．

知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.

【答案】6

【详解】因为圆的方程为，

所以圆心坐标为，半径,

又圆心到点的距离为，

所以圆上的点到点的距离的最大值为，

故答案为：6

题型01求圆的标准方程

【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（????）

A． B．

C． D．

【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.

【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．

【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.

题型02由圆的方程求圆心或半径

【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（????）

A．圆的圆心为，半径为5

B．圆的圆心为，半径为

C．圆的圆心为，半径为

D．圆的圆心为，半径为

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（????）

A． B．9 C．4 D．8

【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（????）

A．7 B．8 C．9 D．12

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

题型03点与圆的位置关系

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（????）.

A． B．

C． D．

【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（????）

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.

题型04与圆有关的最值问题

【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（????）

A． B．1 C． D．4

【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离最小时，圆的标准方程为______．

【变式1】（2023春·广西·高一校联考阶段练习）若复数满足，则的最大值为（????）

A． B． C．7 D．

【变式2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）点在圆上，点，则的最大值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

题型05与圆有关的对称问题

【典例1】（202