第07讲241圆的标准方程(6类热点题型讲练）.docx

第07讲2.4.1圆的标准方程

课程标准

学习目标

①理解圆的定义及确定圆的几何要素。

②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。

③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。

通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.

知识点01：圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为：

知识点02：圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，

圆的半径为，

因此，圆的标准方程为.

故选：A.

知识点03：点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

（1）几何法（优先推荐）

设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

（2）代数法

将点带入：方程内

①点在外

②点在上

③点在内

【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？

【答案】答案见解析

【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．

把点的坐标代入方程的左边,

得,左右两边相等,

点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．

把点的坐标代入方程的左边,

得,左右两边不相等,

点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．

又因为点到圆心A的距离．

故点在圆内．

知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.

【答案】6

【详解】因为圆的方程为，

所以圆心坐标为，半径,

又圆心到点的距离为，

所以圆上的点到点的距离的最大值为，

故答案为：6

题型01求圆的标准方程

【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由圆C：可知圆心，，

故以为直径的圆的圆心为，半径为，

故所求圆的方程为：.

故选：D

【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.

【答案】

【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标，

又圆的半径为

则所求圆的方程为.

故答案为：.

【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．

【答案】或.

【详解】由题意，设圆的方程为，

因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8，

所以所求圆的方程为或.

故答案为：或.

【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.

【答案】

【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有：

，所以，

所以圆的方程为：.

故答案为：.

题型02由圆的方程求圆心或半径

【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（????）

A．圆的圆心为，半径为5

B．圆的圆心为，半径为

C．圆的圆心为，半径为

D．圆的圆心为，半径为

【答案】ABD

【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误；

对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误，

对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确；

对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误，

故选：ABD.

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（????）

A． B．9 C．4 D．8

【答案】B

【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，

因此，即，

∴，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为9.

故选：B.

【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（????）

A．7 B．8 C．9 D．12

【答案】D【详解】因为直线经过圆的圆心，

故，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：D

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，

所以，即，

所以，

所以当时，的最小值为.

故选：A

题型03点与圆的位置关系

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直