江苏省南菁高级中学2024−2025学年高二创新班下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）.docx

江苏省南菁高级中学2024?2025学年高二创新班下学期3月阶段性检测数学试题

一、单选题

1．将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数表达式是（????）

A． B．

C． D．

2．已知向量与是非零向量，，，与的夹角为120°，则在上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

4．已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

5．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（????）（参考数据：，，，）

??

A．40米 B．14米

C．48米 D．52米

6．函数，，的部分图象如图所示，则（???）

A． B． C． D．

7．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（）

A． B．2 C． D．

8．在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（???）

A．为虚数 B．若，则

C． D．若，则的最小值为

10．下列说法正确的是（????）

A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为

B．直线的倾斜角为120°

C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件

D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为

11．已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知，，则的值为．

13．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则.

14．如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为．

四、解答题

15．如图，在中，已知D，E分别是的中点，，与交于点O.

（1）若，求的值；

（2）若，求的长.

16．如图，与存在对顶角，，，且．

(1)证明：为中点；

(2)若，求的长．

17．已知圆O：和点

（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；

（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；

18．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．

（1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域；

（2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；

（3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．

19．设正的边长为为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点.

（1）当时，求的值；

（2）当时.

（i）求的值（用表示）；

（ii）求的最大值与最小值.

参考答案

1．【答案】A

【详解】根据题意：将函数的图象向右平移个单位长度得，

将的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍得，

故选A.

2．【答案】A

【详解】由题意有，

根据由投影向量定义可得在上的投影向量为：，

故选A.

3．【答案】B

【详解】因为直线恒过点，

直线与坐标轴的交点分别为，

直线的斜率，此时倾斜角为；

直线的斜率不存在，此时倾斜角为；

所以直线的倾斜角的取值范围是.

故选B.

4．【答案】B

【详解】若，则点P在以AB为直径的圆上，即圆，即两圆存在公共点,

由两圆位置关系可得

即的最小值为，

故选:B

5．【答案】C

【详解】在中，由题意可得，

则，

，

由正弦定理可得，

在中，可得，

所以该铁塔的高度约为48米.

故选C.

6．【答案】D

【详解】因为，则是的一条对称轴，且由图象知，

又由的图象与性质知①，②

②①得到，解得，所以，故，

故选D.

7．【答案】D

【详解】连接，，且，

在上取一点，使得，

则四边形为平行四边形，.

设，则，

由图可知，

故.

故选D.

8．【答案】D

【详解】先通过，利用辅助角公式可得，再根据条件，利用正弦定理边化角，可得，进而将利用正弦定理边化角可得，进而可得取值范围.

【详解】解：得，又，所以.

在锐角中，，

由正弦定理得：

所以，

所以.

因为，

所以，

所以.

故选D.

9．【答案】CD

【详解】对于A：设，，，故A错误；

对于B：设，若有，

如满足题